Feladat:	C.1286	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Farkas Dóra
Füzet:	2015/szeptember, 339 - 340. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Algebrai átalakítások, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/március: C.1286

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az első egyenletet alakítva: $y^2=x\left(x-1\right)\left(x-2\right)$. A bal oldal nemnegatív, tehát a jobb oldal is: $x\in \left[0;1\right]\cup \left[2;+\infty \right[$. A második egyenletből ugyanígy $y\in \left[0;1\right]\cup \left[2;+\infty \right[$. Vonjuk ki egymásból a két egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle y^2-x^2=x^3-y^3-3x^2+3y^2+2x-2y\mathrm{.}}\end{array}$ Rendezzük, majd bontsuk szorzattá a jobb oldalt: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle =x^3-y^3-2x^2+2y^2+2x-2y\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle =\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-2\left(x-y\right)\left(x+y\right)+2\left(x-y\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle =\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2-2x-2y+2\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle =\left(x-y\right)\left[{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+xy\right]\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Egy szorzat akkor 0, ha egyik tényezője 0. I. eset: $x-y=0$. Ekkor $x=y$, és az eredeti egyenletek alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2=x^3-3x^2+2x\mathrm{,}\text{amiből}0=x^3-4x^2+2x=x\left(x^2-4x+2\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből $x_1=y_1=0$, illetve $\begin{array}{c}{\displaystyle x_{\mathrm{2,3}}=\frac{4\pm \sqrt[]{16-8}}{2}=2\pm \sqrt[]{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Vagyis $x_2=y_2=2-\sqrt[]{2}$ és $x_3=y_3=2+\sqrt[]{2}$. II. eset: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+xy=0$. Tudjuk, hogy ${\left(x-1\right)}^2\ge 0$, ${\left(y-1\right)}^2\ge 0$ és mivel $x$ és $y$ is nemnegatív, ezért $xy\ge 0$. A három összege csak akkor lehet 0, ha mindhárom tag 0. Az első két tagból $x=y=0$, ám ekkor $xy=1\ne 0$. Ebben az esetben nem kaptunk megoldást.   Megjegyzések. 1. Sokan azt írták, hogy mivel a két egyenlet szimmetrikus, ezért $x=y$. Ez nem feltétlenül igaz. Lásd pl. Ábrahám Gábor: Az $f^{-1}\left(x\right)=f\left(x\right)$ típusú egyenletekről, avagy az írástudók felelőssége és egyéb érdekességek c. cikkét (KöMaL, 2010. december, és www.komal.hu/cikkek/abraham/abraham.h.shtml). 2. A szorzattá bontás után többen $x$-re rendezték a második tényezőt, majd felírták a megoldóképletet: $x^2+\left(y-2\right)x+\left(y^2-2y+2\right)=0$, amiből $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{-y+2\pm \sqrt[]{{\left(y-2\right)}^2-4\left(y^2-2y+2\right)}}{2}=\frac{-y+2\pm \sqrt[]{-3y^2+4y-4}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ A gyökjel alatti kifejezés diszkriminánsa $D=16-48<0$, ezért ekkor nincs megoldás. 3. Azt, hogy $x$ és $y$ nem lehet negatív, többen úgy látták be, hogy ha pl. $x<0$, akkor $x^3<0$, $-3x^2<0$ és $2x<0$, így ezek összege is negatív lenne, ám $y^2\ge 0$ miatt ez nem lehetséges.