Feladat:	B.4467	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh Tamás
Füzet:	2014/január, 21 - 22. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Abszolútértékes egyenletek, Műveletek polinomokkal
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/szeptember: B.4467

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Elsőként adjunk az egyenlet mindkét oldalához $x$-et. Látjuk, hogy a jobb oldalon szereplő polinom teljes négyzet. $\begin{array}{c}{\displaystyle x+\sqrt[]{x}=x^2-2x+1+|x-1|\mathrm{,}x+\sqrt[]{x}={\left(x-1\right)}^2+|x-1|\mathrm{.}}\end{array}$ A négyzetgyök definíciója miatt $x\ge 0$,   továbbá azt is tudjuk, hogy ${\left(x-1\right)}^2={|x-1|}^2$. Legyen az áttekinthetőség érdekében $\sqrt[]{x}=a$ és $|x-1|=b$, ahol $a\mathrm{,}b\ge 0$. Az új jelöléssel egyenletünk $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2+a=b^2+b}\end{array}$ alakban írható. Az $f\left(u\right)=u^2+u$ függvény a nemnegatív valós számok halmazán szigorúan monoton növekedő, minden függvényértéket legfeljebb egyszer vehet fel. Az egyenletben éppen $f\left(a\right)=f\left(b\right)$, ez tehát akkor és csak akkor áll fenn, ha $a=b$. Emiatt $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{x}=|x-1|\mathrm{,}x=x^2-2x+\mathrm{1,}{x}^2-3x+1=0.}\end{array}$ Ennek gyökei $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1=\frac{3-\sqrt[]{5}}{2}\mathrm{,}{x}_2=\frac{3+\sqrt[]{5}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Mindkét gyök pozitív és kielégíti az alapegyenletet.