Feladat:	4787. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gémes Antal
Füzet:	2016/május, 311. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Ideális gáz belső energiája (Kinetikus gázelmélet)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/december: 4787. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $a)$ A Holdon a nehézségi gyorsulás hatszor kisebb a földi $g$-nél. Az energiamegmaradás szerint a héliumatomok rendezett mozgásának sebessége a $h$ magasságból leeső edény becsapódásakor: $\begin{array}{c}{\displaystyle v=\sqrt[]{2\cdot \frac{g}{6}h}=\sqrt[]{2\cdot \frac{9\mathrm{,}81\frac{\text{m}}{\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}}}{6}\cdot 30\text{m}}\approx 10\frac{\text{m}}{\text{s}}\mathrm{.}}\end{array}$ $b)$ A becsapódás után a gáz mozgási energiája hővé alakul, és ez a hő (az adiabatikus fal miatt) teljes egészében a gáz belső energiáját növeli: $\begin{array}{c}{\displaystyle m\frac{g}{6}h=\frac{3}{2}\frac{m}{M}R\cdot \Delta T\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $m$ a gáz tömege, $M=4$ g/mol pedig a hélium atomtömege. Eszerint a gáz hőmérsékletének emelkedése: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta T=\frac{ghM}{9R}\approx 0\mathrm{,}016\text{K. }}\end{array}$ A hőmérséklet ismeretében (az ekvipartíció tételét felhasználva) kiszámíthatjuk a héliumatomok rendezetlen (termikus) átlagsebességét: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}M{v}^2=\frac{3}{2}RT\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle v=\sqrt[]{\frac{3RT}{M}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ennek a sebességnek a megváltozása a hőmérséklet $\Delta T$ mértékű növekedésekor: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \Delta v}& {\displaystyle =\sqrt[]{\frac{3R\left(T+\Delta T\right)}{M}}-\sqrt[]{\frac{3RT}{M}}=\frac{\frac{3R\left(T+\Delta T\right)}{M}-\frac{3RT}{M}}{\sqrt[]{\frac{3R\left(T+\Delta T\right)}{M}}+\sqrt[]{\frac{3RT}{M}}}\approx }\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \approx \frac{\frac{3R\Delta T}{M}}{2\sqrt[]{\frac{3RT}{M}}}=\frac{\Delta T}{2}\sqrt[]{\frac{3R}{MT}}\approx 0\mathrm{,}04\frac{\text{m}}{\text{s}}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$   Megjegyzés. A gravitációs helyzeti energia csökkenése csak nagyon kis mértékben változtatja meg a gáz hőmérsékletét, emiatt ‐ mint látjuk ‐ a termikus átlagsebesség is csak nagyon csekély mértékben változik meg. Ezt a sebességváltozást nem lenne szerencsés az eredeti és a megváltozott sebességek numerikus értékének különbségeként számolni, mert ezek a sebességek majdnem pontosan megegyeznek. Több versenyző is arra a következtetésre jutott, hogy a termikus átlagsebesség nem változik meg az ütközés hatására.