Feladat:	4804. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gnädig Péter ,  Mány Bence
Füzet:	2016/április, 248 - 251. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Erőrendszer eredője, Csúszó súrlódás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/január: 4804. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. $a)$ A test állandó sebességgel mozog, tehát a rá ható erők kiegyenlítik egymást. A testre a zsineg valamekkora $F$ nagyságú erővel hat, a nehézségi erő $mg$, az asztallap által kifejtett tartóerő $N$ és a súrlódási erő $S$ nagyságú (lásd az 1. ábrát).   1. ábra   Mivel a test csúszik, fennáll $\begin{array}{c}{\displaystyle S=\mu N\mathrm{,}}\end{array}$ (1) továbbá a vízszintes és függőleges irányú erőegyensúly feltétele: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle F\text{cos}\alpha }& {\displaystyle =S\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle mg+F\text{sin}\alpha }& {\displaystyle =N\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\end{array}}$ A (2) és (3)-ból kifejezett erőket (1)-be helyettesítve kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle F\text{cos}\alpha =\left(mg+F\text{sin}\alpha \right)\mu \mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle F\left(\alpha \right)=\frac{\mu }{\text{cos}\alpha -\mu \text{sin}\alpha }mg=\frac{15\text{N}}{\text{cos}\alpha -0\mathrm{,}15\text{sin}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ (4) $b)$ A test egyenletes mozgását két esemény szakíthatja meg. Az $\alpha$ szög növekedtével (4) jobb oldalának nevezője egyre kisebbé válik, és az $\begin{array}{c}{\displaystyle \alpha \to {\alpha }_1=\text{arctg}\frac{1}{0\mathrm{,}15}=81\mathrm{,}{5}^{\circ }}\end{array}$ határesetben nullához közelít, miközben $F$ végtelenhez tart, tehát a test hirtelen megáll (,,megszorul''), vagy pedig a zsineg már korábban elszakad. A test egyenletes mozgása úgy is végződhet, hogy a test felborul. Ez az után következik be, amikor az $N$ erő támadáspontja egészen a $P$ pontig (vagyis a testnek a mozgásirányba eső alsó oldaléléig) tolódik. A határhelyzetnek megfelelő ${\alpha }_2$ szögnél az $F$ erő $P$ pontra vonatkoztatott forgatónyomatéka éppen kiegyenlíti az $mg$ nehézségi erő forgatónyomatékát. Mivel az $F$ erő erőkarja $h\text{cos}\alpha$, a nehézségi erőé pedig $\ell /2$, a forgatónyomatékok egyensúlyának feltétele: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\mu }{\text{cos}\alpha -\mu \text{sin}\alpha }mg\cdot h\text{cos}\alpha =mg\cdot \frac{\ell }{2}\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\alpha =\frac{1}{\mu }-\frac{2h}{\ell }=\text{tg}{\alpha }_2=5\mathrm{,}\mathrm{39,}\text{tehát}{\alpha }_2=79\mathrm{,}{5}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel ${\alpha }_2<{\alpha }_1$, az $\alpha$ szög legfeljebb $79\mathrm{,}{5}^{\circ }$ lehet; a téglatest ennél a helyzetnél felborul.   II. megoldás. A feladatot szerkesztéssel is megoldhatjuk. Jelöljük a testre ható erőket a 2. ábrán látható módon!   2. ábra   Az asztal által kifejtett $\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">K</span></span>}$ erő (a függőleges irányú $\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">N</span></span>}$ tartóerő és a vízszintes irányú $\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">S</span></span>}$ súrlódási erő vektori összege) csúszó súrlódás esetén $\epsilon =\text{arctg}\mu$ szöget zár be a függőlegessel, hiszen ekkor teljesül a csúszó súrlódás $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{S}{N}=\text{tg}\epsilon =\mu }\end{array}$ feltétele. (Az $\epsilon$ szöget súrlódási határszögnek nevezik.) Az $\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">F</span></span>}$, $\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">K</span></span>}$ és $m\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">g</span></span>}$ vektorok közös $O$ ponton haladnak át, emiatt a forgatónyomatékuk összege nulla. A zsinegben ható erő nagysága az $OAB$ háromszögre felírt szinusztételből számítható ki: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{F}{mg}}& {\displaystyle =\frac{\text{sin}\epsilon }{\text{sin}\left({90}^{\circ }-\alpha -\epsilon \right)}=\frac{\text{sin}\epsilon }{\text{cos}\left(\alpha +\epsilon \right)}=\frac{\text{sin}\epsilon }{\text{cos}\alpha \text{cos}\epsilon -\text{sin}\alpha \text{sin}\epsilon }=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\text{tg}\epsilon }{\text{cos}\alpha -\text{sin}\alpha \text{tg}\epsilon }\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle F\left(\alpha \right)=\frac{\mu }{\text{cos}\alpha -\mu \text{sin}\alpha }mg\mathrm{.}}\end{array}$ A 2. ábráról leolvashatjuk, hogy $\alpha +\epsilon <{90}^{\circ }$, vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\alpha <\text{tg}\left({90}^{\circ }-\epsilon \right)=\frac{1}{\text{tg}\epsilon }=\frac{1}{\mu }=6\mathrm{,}\mathrm{67,}}\end{array}$ azaz $\alpha <{\alpha }_1=81\mathrm{,}{5}^{\circ }$.   3. ábra   Foglalkozzunk most a téglatest felborulásának lehetőségével! A 3. ábrán látható $P\text{'}$ pont (ami a $\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">K</span></span>}$ erő hatásvonalának és az asztal síkjának metszéspontja) nem lehet távolabb a $C$ ponttól, mint $PC=\ell /2$, ellenkező esetben a test a $P$ ponton átmenő oldaléle körül elfordul, vagyis a test felbillen. A stabilitás feltétele: $\begin{array}{c}{\displaystyle P\text{'}C=\left(OD+DC\right)\text{tg}\epsilon =\left(DR\cdot \text{tg}\alpha +DC\right)\text{tg}\epsilon =\left(\frac{\ell }{2}\text{tg}\alpha +h\right)\mu <\frac{\ell }{2}\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\alpha <\frac{1}{\mu }-\frac{2h}{\ell }=5\mathrm{,}\mathrm{40,}\text{azaz}\alpha <{\alpha }_2=79\mathrm{,}{5}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ Látható, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}{\alpha }_2=\text{tg}{\alpha }_1-\frac{2h}{\ell }<\text{tg}{\alpha }_1\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis (a test méretarányaitól és a súrlódás nagyságától függetlenül) mindig teljesül, hogy ${\alpha }_2<{\alpha }_1$. Ezek szerint a test a konkrét adatoktól függetlenül előbb borul fel, mintsem megszorulna.