Feladat:	4791. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Tomcsányi Gergely
Füzet:	2016/április, 244 - 245. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Bernoulli-törvény, Párolgás, forrás, lecsapódás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/december: 4791. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A nyomásmérő azt mutatja meg, hogy a csőben lévő víz nyomása mennyivel nagyobb a külső légnyomásnál. Mivel Petiék 1,2 bart, azaz 120 kPa nyomást mértek, a cső egy tiszta szakaszán (ahol nincs lerakódás) a víz nyomása 220 kPa, ha a külső légnyomást 100 kPa-nak vesszük. Jól ismert tény, hogy a víz forráspontja a nyomás növekedésével emelkedik. Táblázati adatok szerint a 220 kPa-os nyomáshoz $T\approx 397\text{K}=124{}^{\circ }$C-os forráspont tartozik. Jogos igény, hogy a kazán vizének hőmérsékletét ekkora (vagy ehhez közeli) hőmérsékletekig ellenőrizni tudjuk, ez az oka a furcsa méréshatárú hőmérőnek.   Megjegyzés. A forráspont és a hőmérséklet kapcsolatát az ún. Clausius‐Clapeyron-egyenlet segítségével is kiszámíthatjuk. Ennek az egyenletnek egy közelítő alakja így írható fel: $\begin{array}{c}{\displaystyle p\left(T\right)=p_0{\text{e}}^{-\frac{ML}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\right)}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $L$ a víz (állandónak tekintett) forráshője, $M$ a víz moltömege, $R$ a gázállandó, $T_0$ pedig egy adott $p_0$ nyomáshoz tartozó ismert forráspont (például $p_0=100\text{kPa}$ és $T_0=373\text{K}$).   Petiék kazánjában és a csövekben $353$K hőmérsékletű víz van. A csövek ,,tiszta'' részében, ahol a nyomás 220 kPa, a víz nem forr. Ezen a hőmérsékleten (a táblázati adatok, vagy a Clausius‐Clapeyron-egyenlet szerint) csak akkor indulhatna el a forrás, ha a nyomás valamilyen ok miatt 47 kPa, vagy még ennél is kevesebb lenne. A forrást erős zúgó hang kíséri, feltehetően ez okozta Petiék kazánjában a furcsa zajokat. Mi okozhatja a csővezeték bizonyos részeinél a nyomás lecsökkenését? Ha a cső keresztmetszete (vízkőlerakódás miatt) valahol leszűkül, ott a folyadék áramlása felgyorsul. A víz áramlási sebessége és a nyomás közötti kapcsolatot a Bernoulli-törvény adja meg. Ennek vízszintes áramvonalak mentén érvényes alakja (összenyomhatatlan, örvénymentesen és súrlódásmentesen áramló folyadékra): $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}{v}^2+\frac{p}{\varrho }=\text{állandó}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $\varrho$ a folyadék sűrűsége. Alkalmazzuk ezt a törvényt a cső egy szűkületmentes (,,tiszta'') része és az elszennyeződött (,,szűk'') része között: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}{v}_{\text{tiszta}}^2+\frac{p_{\text{tiszta}}}{\varrho }=\frac{1}{2}{v}_{\text{szűk}}^2+\frac{p_{\text{szűk}}}{\varrho }\mathrm{.}}\end{array}$ Tudjuk, hogy $p_{\text{tiszta}}=220$kPa, $p_{\text{szűk}}\le 47$kPa, $v_{\text{tiszta}}=3$m/s, és a víz sűrűsége ($80{}^{\circ }$C-on) $\varrho =972{\text{kg/m}}^3$. Az áramlás sebessége a szűkületben: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_{\text{szűk}}=\sqrt[]{v_{\text{tiszta}}^2+\frac{2}{\varrho }\left(p_{\text{tiszta}}-p_{\text{szűk}}\right)}\ge 19\text{m/s}\mathrm{.}}\end{array}$ Ez a sebesség legalább $\frac{19}{3}\approx 6\mathrm{,}3$-szorosa a ,,normális'' áramlási sebességnek, vagyis a leszűkült cső átjárható részének keresztmetszete és a teljes keresztmetszet aránya $\frac{3}{19}\approx 0\mathrm{,}16.$ Ezek szerint a cső keresztmetszetének legalább 84 százeléka elzáródott.