Feladat:	4774. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Asztalos Bogdán ,  Balogh Menyhért ,  Bekes Nándor ,  Blum Balázs ,  Forrai Botond ,  Jakus Balázs István ,  Sal Kristóf ,  Szépfalvi Bálint ,  Tomcsányi Gergely ,  Vígh Máté
Füzet:	2016/április, 240 - 242. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Kényszerrezgés
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/november: 4774. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A rúd és a függőleges szögének időbeli változását a $\begin{array}{c}{\displaystyle \theta \left(t\right)={\theta }_0\text{sin}\omega t}\end{array}$ függvénnyel adhatjuk meg, ahol $\omega =2\pi f$ az $f$ frekvenciájú rezgés körfrekvenciája. A rúd pillanatnyi szögsebessége: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Omega \left(t\right)={\theta }_0\omega \text{cos}\omega t\mathrm{.}}\end{array}$ (Ez a képlet az egydimenziós rezgőmozgás út-idő és sebesség-idő képleteivel való összehasonlításból is megkapható, vagy a $\theta \left(t\right)$ függvény deriváltjaként származtatható.) Tételezzük fel, hogy a gyöngy már egy kicsit felemelkedett az ütközőről, az tehát már nem fejt ki rá erőt. Üljünk rá ‐ képzeletben ‐ az irányát harmonikus rezgőmozgás szerint változtató rúdra, és számítsuk ki a gyöngyszemre ható rúdirányú erőt (annak átlagos értékét) ebben a (gyorsuló!) koordináta-rendszerben! A nehézségi erő rúdirányú komponense $\begin{array}{c}{\displaystyle F_1\left(t\right)=-mg\text{cos}\theta \left(t\right)\approx -mg\mathrm{.}}\end{array}$ (Kihasználtuk, hogy $|\theta \left(t\right)|\le {\theta }_0\ll 1$ miatt $\text{cos}\theta \left(t\right)\approx 1$.) Elhanyagolható súrlódás esetén a rúd nem fejthet ki rúdirányú erőt a gyöngyszemre. Fellép viszont egy rúdirányú tehetetlenségi erő: a gyöngyszemre ható ,,centrifugális erő'': $\begin{array}{c}{\displaystyle F_2\left(t\right)=mr{\Omega }^2=mr{\theta }_0^2{\omega }^2\text{cos}{}^2\omega t\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $r\ge d$ a gyöngyszem pillanatnyi távolsága a rúd alsó végétől. Ennek az ‐ időben változó nagyságú ‐ erőnek az átlagértéke (egy periódusra vett időátlaga): $\begin{array}{c}{\displaystyle \langle F_2\rangle =\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{F}_2\left(t\right)\text{d}t=\frac{1}{2}mr{\theta }_0^2{\omega }^2\mathrm{.}}\end{array}$ (Feltételeztük, hogy $r\left(t\right)$ csak lassan változik, emiatt egy-egy rezgés ideje alatt $r$ állandónak tekinthető.) Ha az eredő erő (a rúd ,,felső'' vége felé mutató irányt tekintve pozitívnak) nagyobb, mint nulla, akkor a gyöngy lerepül a rúdról. Ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \langle F\rangle =\langle F_1\rangle +\langle F_2\rangle =\frac{1}{2}mr{\theta }_0^2{\omega }^2-mg>\mathrm{0,}}\end{array}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle f>2\pi \sqrt[]{\frac{2g}{r{\Theta }_0^2}}>2\pi \sqrt[]{\frac{2g}{d{\Theta }_0^2}}}\end{array}$ teljesül, akkor $r$ növekedni kezd, emiatt az eredő átlagerő még nagyobbá válik, tehát a gyöngy valóban lerepül a rúdról.   II. megoldás. A feladat a talajhoz rögzített (inercia-)rendszerből nézve is megoldató. Írjuk fel a gyöngyre ható eredő erő függőleges komponensét az idő függvényében, és képezzük ennek időbeli átlagát! A kis amplitúdójú harmonikus rezgőmozgást végzó gyöngy mozgásegyenletéből leolvashatjuk, hogy (az ütközőtől már kicsit eltávolodott) gyöngyre ható (a rúd által kifejtett) kényszererő függőlegesen felfelé mutató komponense $\begin{array}{c}{\displaystyle F\left(t\right)=m{\theta }_0^2{\omega }^{2}d\text{sin}{}^2\left(\omega t\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ha ennek egy periódusra vett átlagértéke nagyobb, mint $mg$, akkor a gyöngy lerepül. Mivel $\text{sin}{}^2\left(\omega t\right)$ átlagértéke 1/2 (lásd pl. a váltóáram effektív értékénél alkalmazott gondolatmenetet), a lerepülés feltétele: $\begin{array}{c}{\displaystyle f>\frac{1}{2\pi }\sqrt[]{\frac{2g}{{\theta }_0^{2}d}}\mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzés. Többen így érveltek: a gyöngy lerepülésének feltétele, hogy a pályájának tetőpontján éppen elváljon az ütközőtől. Az ebből a feltételből kapható naiv $\begin{array}{c}{\displaystyle f>\frac{1}{2\pi }\sqrt[]{\frac{g}{{\theta }_0^{2}d}}=f_{\text{naiv}}}\end{array}$ egyenlőtlenség azonban ‐ mint az a részletes számításból látható ‐ hibás! Mindaddig, amíg $\begin{array}{c}{\displaystyle f_{\text{naiv}}<f<\sqrt[]{2}{f}_{\text{naiv}}\mathrm{,}}\end{array}$ a gyöngy csak egy rövid időre távolodik el az ütközőtől, de utána visszaesik rá, így csak ,,pattog'' a gyöngy az ütközőn, de nem repül le a rúdról.