Kezdőlap


Feladat:	4767. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bekes Nándor , Gnädig Péter , Nagy Kartal
Füzet:	2016/április, 236 - 239. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb (KöMaL pontverseny is), Egyéb folyadék- és gázáramlás, Hajítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/október: 4767. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A kiáramló vízsugarak burkolófelülete a henger tengelyére nézve forgásszimmetrikus felület. Tekintsük ennek a felületnek egy, a henger tengelyére illeszkedő síkmetszetét (1. ábra), és használjuk az ábrán látható koordináta-rendszert!

1. ábra

Keressünk összefüggést egy adott

H - h

magasságból kiinduló vízsugár tetszőleges

P

pontjának

(x, y)

koordinátái között! Ehhez vizsgáljuk a vízsugár mozgását a

P

pontig! A kiáramló víz egy kicsiny darabkájának (,,vízcseppjének'') kezdősebessége a Torricelli-féle kiáramlási törvény szerint:

v = \sqrt[]{2 g h}

, a

P

pontig tehát ez a vízcsepp

\begin{matrix} t = \frac{x}{\sqrt[]{2 g h}} \end{matrix}

idő alatt érkezik el. Ennyi idő alatt a vízcsepp függőleges irányban

\frac{g}{2} t^{2}

távolságnyit esik, tehát a

P

pontban

\begin{matrix} y = H - h - \frac{g}{2} t^{2} = H - h - \frac{g}{2} \frac{x^{2}}{2 g h}, \end{matrix}

így a

P

pont derékszögű koordinátái között fennáll az

\begin{matrix} x^{2} = 4 h (H - h - y) \end{matrix}

összefüggés.
Keressük meg ezek után egy adott

y_{0}

magasságban azt a pontot, amelyhez tartozó vízsugaraknak megfelelő

x

koordináta a lehető legnagyobb. A maximális

x = x_{0}

megadja a burkolófelület

y = y_{0}

-lal jellemzett

S

pontjának másik koordinátáját. Teljes négyzetté alakítással:

\begin{matrix} x^{2} = 4 h (H - h - y_{0}) \equiv - {[2 h - (H - y_{0})]}^{2} + {(H - y_{0})}^{2} \leq {(H - y_{0})}^{2} \equiv x_{0}^{2}, \end{matrix}

vagyis

H - y_{0} = x_{0}

.
A burkolófelület (az ábrán szaggatott vonallal jelölt) alkotójának egyenlete ezek szerint

x + y = H

. Az alkotók tehát

45^{\circ}

-os szöget zárnak be a vízszintes talajjal, és az alkotók együttesen csonkakúpot formáznak. A csonkakúp fedőkörének sugara a henger

r

sugarával egyezik meg, az alapkörének sugara pedig

r + H

II. megoldás. Az I. megoldás jelöléseit használva a víz felszínétől

h

távolságban lévő lyukból kiinduló vízsugár egyenlete:

\begin{matrix} H - y = \frac{x^{2}}{4 h} + h . \end{matrix}

Alkalmazzuk a számtani és mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{4 h} + h \geq 2 \sqrt[]{\frac{x^{2}}{4 h} \cdot h} = x . \end{matrix}

A vízsugarak által elért pontokra tehát fennáll a

H - y \geq x

egyenlőtlenség. A vízsugarak burkolófelülete ezek szerint egy olyan csonkakúp, amelynek alkotói

45^{\circ}

-os szöget zárnak be a vízszintessel, felső körlapja pedig éppen a víz felszínének magasságában van, és a mérete is megegyezik a vízfelszín átmérőjével.

III. megoldás. Tekintsük a 2. ábrán látható

A

pontnál lévő lyukon kiáramló vízsugarat, amelyik (a tömegpontok vízszintes hajításának parabolapályájához hasonlóan) parabola alakú ívet rajzol ki. Keressük meg ezen parabola fókuszpontját és vezéregyenesét!

2. ábra

A kiáramlás

v_{0}

sebessége megegyezik azzal a sebességgel, amekkorával egy szabadon eső test

O A = h

távolság megtétele után rendelkezne. (Ez az energiamegmaradás törvényéből következik, hiszen egy kicsiny

Δ m

tömegű vízmennyiség kifolyásakor a maradék víz helyzeti energiája éppen annyival csökken, mintha a

Δ m

tömeg a víz felszínétől a kiáramlási nyílásig süllyedt volna le, és a helyzeti energia csökkenése fedezi a kiáramló víz mozgási energiáját. Az energiamegmaradás ezen esetét fogalmazza meg a Torricelli-törvény, általánosabban pedig a Bernoulli-törvény, mindkettő szerint

v_{0} = \sqrt[]{2 g h}

.)
Ismert (lásd pl. a P. 4565. feladat megoldását a KöMaL 2014. évi 2. számában), hogy egy adott

A

pontból adott kezdősebességgel elhajított testek parabolapályájának fókuszpontja és az

A

pont távolsága nem függ a kezdősebesség irányától. Ha a vízsugár nem vízszintesen, hanem függőlegesen felfelé indulna el az

A

pontból, akkor (a súrlódási veszteségeket elhanyagolva) éppen az

O

pontig, tehát a víz felszínéig emelkedne. Ez a (függőleges és egyenes) pálya olyan elfajult parabolának tekinthető, amelynek fókuszpontja

O

, tehát

O A = h

távol van a kiindulási ponttól.
A vízsugár tényleges (vízszintesen induló) pályája olyan parabola, amelynek

F

fókuszpontja ‐ a szimmetria és a hivatkozott tulajdonság miatt ‐ éppen az

A

pont alatt, attól

h

távolságban található. A parabola szimmetriatengelye függőleges, vezéregyenese

(e)

tehát vízszintes, és

A

-tól

A F = h

távol helyezkedik el.
A parabolaív tetszőleges

P

pontjára fennáll, hogy

F P = P C

(ez a parabola geometriai definíciójából következik), és nyilván teljesül, hogy

F P \geq B P

(ahol

B

P

pont merőleges vetülete a henger palástján). Az egyenlőtlenség annál az

S

pontnál válik egyenlőséggé, amelyik a parabola

F

fókuszpontjával azonos magasságban található.
Megállapíthatjuk, hogy a különböző magasságban lévő lyukakból kiinduló vízsugarak minden pontja az

O

pontból induló,

45^{\circ}

meredekségű (az ábrán szaggatott vonallal jelölt)

f

egyenes alatt (vagy esetleg éppen azon rajta) található. A vízsugarak burkolófelülete tehát az

f

egyenes megforgatásával kapható csonkakúp.

Megjegyzés. A megoldás során feltételeztük, hogy a mérőhenger egy vízszintes asztalon áll, és emiatt a vízsugarak ívét csak az asztal fölötti térrészben vizsgáltuk. A burkolófelület teljes csonkakúpját már a mérőhenger felső felén lévő (

h \leq H / 2

-vel jellemezhető) lyukakból kiáramló víz kirajzolja, a henger alsó felén lévő lyukakat akár el is hagyhatjuk.
Több versenyző is vizsgálta a mérőhenger alaplapja alá kerülő vízsugarakat. (Ilyen vízsugarak például úgy jöhetnek létre, hogy a mérőhengert egy vékony, függőleges rúd tetejére erősítjük.) Megállapították, hogy a burkolófelület ilyenkor egy csonkakúpból és egy ahhoz illeszkedő forgásparaboloidból tevődik össze, az utóbbit a henger legaljánál kifolyó vízsugarak hozzák létre.