Kezdőlap


Feladat:	B.4208	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Jaksa Péter
Füzet:	2010/szeptember, 340. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Számsorozatok, Konstruktív megoldási módszer, Egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/október: B.4208

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Minden $k$ pozitív egész számra

\begin{matrix} {(k + 0, 4)}^{2} = k^{2} + 0, 8 k + 0, 16 \leq k^{2} + 0, 96 k < k^{2} + k < k^{2} + k + 0, 25 = {(k + 0, 5)}^{2}, \end{matrix}

vagyis

k + 0, 4 < \sqrt[]{k (k + 1)} < k + 0, 5

. Ezért

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{n} \frac{k + 0, 4}{n} < \sum_{k = 1}^{n} \frac{\sqrt[]{k (k + 1)}}{n} < \sum_{k = 1}^{n} \frac{k + 0, 5}{n} . \end{matrix}

Alakítsuk át a két szélső összeget:

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{n} \frac{k + 0, 4}{n} & = \frac{\frac{(1 + n) \cdot n}{2} + 0, 4 \cdot n}{n} = \frac{n}{2} + 0, 5 + 0, 4 = \frac{n}{2} + 0, 9, \\ \sum_{k = 1}^{n} \frac{k + 0, 5}{n} & = \frac{\frac{(1 + n) \cdot n}{2} + 0, 5 \cdot n}{n} = \frac{n}{2} + 0, 5 + 0, 5 = \frac{n}{2} + 1. \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} \frac{n}{2} + 0, 9 < \sum_{k = 1}^{n} \frac{\sqrt[]{k (k + 1)}}{n} < \frac{n}{2} + 1. \end{matrix}

n

páros, akkor

\frac{n}{2}

egész, tehát az összeg

\frac{n}{2} + 0, 9

és

\frac{n}{2} + 1

közé esik, és így a tizedesvessző utáni első számjegy a 9.
Ha

n

páratlan, akkor pedig

\frac{n}{2} - 0, 5

egész, és az összeg

\begin{matrix} (\frac{n}{2} - 0, 5) + 0, 5 + 0, 9 & = (\frac{n}{2} - 0, 5) + 1, 4 és \\ (\frac{n}{2} - 0, 5) + 0, 5 + 1 & = (\frac{n}{2} - 0, 5) + 1, 5 \end{matrix}

közé esik, tehát a kérdéses számjegy a 4.