Kezdőlap


Feladat:	B.3992	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gyurcsik Judit
Füzet:	2010/szeptember, 339. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Koszinusztétel alkalmazása, Szöveges feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/április: B.3992

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Bebizonyítjuk, hogy legfeljebb öten lőhetnek ugyanarra az emberre.
Tegyük fel, hogy (legalább) hatan lőnek ugyanoda, $A$ -ra. Az ábra alapján jelöljük $α_{i}$ -vel az $A_{i} A A_{i + 1}$ szöget. Ha $α_{i} > 60^{\circ}$ ( $1 \leq i$ , $i \in N$ ), akkor ezen szögek összege nagyobb, mint $360^{\circ}$ , és ez lehetetlen.

Ha az egyik

α_{i}

nem nagyobb

60^{\circ}

-nál:

α_{j} \leq 60^{\circ}

. Mivel

A

a célpont, azért

A_{j} A_{j + 1}

A_{j} A A_{j + 1}

háromszög legnagyobb oldala, így

α_{j}

a háromszög legnagyobb szöge, ami lehetetlen.
Tehát legfeljebb 5-en lőhetnek ugyanarra a személyre, és ez lehetséges is: álljanak

A

-tól sorban 5, 6, 7, 8 és 9 egységnyi távolságra a többi játékosok. Ha

A

a hozzá legközelebb álló felé néz, akkor sorban

70^{\circ}

70^{\circ}

70^{\circ}

70^{\circ}

-os fordulatokkal mindenkire ránéz. Koszinusztétellel ellenőrizhető, hogy a feladatnak megfelelően a játékosok távolsága páronként eltérő, és hogy a szomszédos játékosok messzebb vannak egymástól, mint

A

-tól.