Kezdőlap


Feladat:	C.1001	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gróf Gábor
Füzet:	2010/szeptember, 333 - 334. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Osztók száma, Osztók összege, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/október: C.1001

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A feltételek szerint a szám $p_{1}^{n} \cdot p_{2}^{m}$ alakú, ahol $n$ és $m$ pozitív egész számok és $p_{1} \neq p_{2}$ prímek. Az osztók számára vonatkozó képlet alapján $(n + 1) (m + 1) = 6$ . Az adott feltételeket csak az $n = 2$ , $m = 1$ számpár teljesíti, tehát a szám $p_{1}^{2} \cdot p_{2}$ alakú. A szám osztói ekkor: 1, $p_{1}$ , $p_{2}$ , $p_{1}^{2}$ , $p_{1} \cdot p_{2}$ , $p_{1}^{2} \cdot p_{2}$ , vagyis:

\begin{matrix} 28 & = 1 + p_{1} + p_{2} + p_{1}^{2} + p_{1} p_{2} + p_{1}^{2} p_{2}, \\ 28 & - (1 + p_{1} + p_{1}^{2}) = p_{2} (1 + p_{1} + p_{1}^{2}), \\ p_{2} & = \frac{28 - (1 + p_{1} + p_{1}^{2})}{1 + p_{1} + p_{1}^{2}} = \frac{28}{1 + p_{1} + p_{1}^{2}} - 1. \end{matrix}

Mivel

p_{1} \geq 5

esetén a nevező nagyobb, mint 28, azért csak a

p_{1} = 2

, vagy

p_{1} = 3

lehetséges. Az első esetben

p_{2} = 3

, a második esetben

p_{2}

-re nem kapunk egész számot.
Tehát a keresett szám:

2^{2} \cdot 3

, azaz 12.