Kezdőlap


Feladat:	C.1002	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Angyal Vivien , Schwarcz Gergő
Füzet:	2010/szeptember, 334 - 335. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Terület, felszín, Hossz, kerület, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/október: C.1002

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek a háromszög oldalai $a \leq b < c$ , ahol a Pitagorasz-tétel szerint $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Tudjuk, hogy $T = \frac{a b}{2}$ és $a, b \in Z$ . Ekkor

\begin{matrix} K = a + b + c, és \frac{a b}{2} = a + b + c . \end{matrix}

Így

c = \frac{a b}{2} - (a + b)

. Ezt behelyettesítve a Pitagorasz-tételbe:

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} & = {[\frac{a b}{2} - (a + b)]}^{2}, \\ a^{2} + b^{2} & = {(\frac{a b}{2})}^{2} - a b (a + b) + {(a + b)}^{2}, \\ 0 & = a^{2} b^{2} - 4 a^{2} b - 4 a b^{2} + 8 a b, \\ 0 & = a b - 4 a - 4 b + 8, \\ 8 & = (a - 4) (b - 4) . \end{matrix}

\begin{matrix} a - 4 & b - 4 & a & b & c \\ 1 & 8 & 5 & 12 & 13 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ 4 & 2 & 8 & 6 & 10 \\ 8 & 1 & 12 & 5 & 13 \\ - 1 & - 8 & 3 & - 4 & ezek nem lehetnek \\ - 2 & - 4 & 2 & 0 & az oldalak (nincs \\ - 4 & - 2 & 0 & 2 & 0 egységű, illetve \\ - 8 & - 1 & - 4 & 3 & negatív oldal) \end{matrix}

A háromszög oldalai 5, 12, 13 vagy 6, 8, 10 egység hosszúak.

II. megoldás. Legyenek a háromszög oldalai

a \leq b < c

. Tudjuk, hogy

T = \frac{a b}{2}

K = a + b + c = a + b + \sqrt[]{a^{2} + b^{2}}

\begin{matrix} \frac{a b}{2} & = a + b + \sqrt[]{a^{2} + b^{2}} \leq a + b + \sqrt[]{{(a + b)}^{2}} \\ (merta, b > 0esetén{(a + b)}^{2} > a^{2} + b^{2},) \\ \frac{a b}{2} & \leq a + b + a + b \leq 4 b . \end{matrix}

Vagyis

\frac{a b}{2} \leq 4 b

, azaz

a \leq 8

. Tehát a keresendő Pitagoraszi-számhármasok legkisebb tagja nem lehet nagyobb 8-nál. Az összes ilyen számhármas:

\begin{matrix} a & b & c & \frac{a b}{2} & a + b + c \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 12 \\ 5 & 12 & 13 & 30 & 30 \\ 6 & 8 & 10 & 24 & 24 \\ 7 & 24 & 25 & 84 & 56 \\ 8 & 15 & 17 & 60 & 40 \end{matrix}

Ezek között két megfelelő számhármas van: 5, 12, 13 és 6, 8, 10.