Feladat:	B.4692	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hansel Soma
Füzet:	2015/október, 408 - 409. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Trigonometriai azonosságok, Magasságvonal, Szinusztétel alkalmazása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/február: B.4692

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A hagyományos és a trigonometrikus háromszög területképlet és a szinusztétel felhasználásával: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{m_a}{a}=\frac{2T}{a^2}=\frac{ab\cdot \text{sin}\gamma }{a^2}=\frac{b\cdot \text{sin}\gamma }{a}=\frac{\text{sin}\beta \text{sin}\gamma }{\text{sin}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ Hasonlóan: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{m_b}{b}=\frac{\text{sin}\gamma \text{sin}\alpha }{\text{sin}\beta }\text{és}\frac{m_c}{c}=\frac{\text{sin}\alpha \text{sin}\beta }{\text{sin}\gamma }\mathrm{.}}\end{array}$ Az addíciós képleteket felírva: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}2\alpha =2\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha \mathrm{,}\text{sin}2\beta =2\text{sin}\beta \text{cos}\beta \mathrm{,}\text{sin}2\gamma =2\cdot \text{sin}\gamma \text{cos}\gamma \mathrm{.}}\end{array}$ Ezeket behelyettesítve az egyenlőtlenségbe és a műveleteket elvégezve az alábbi egyenlőtlenséget kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{sin}\beta \text{sin}\gamma }{\text{sin}\alpha }+\frac{\text{sin}\gamma \text{sin}\alpha }{\text{sin}\beta }+\frac{\text{sin}\alpha \text{sin}\beta }{\text{sin}\gamma }\ge \frac{\text{cos}\beta \text{cos}\gamma }{\text{sin}\alpha }+\frac{\text{cos}\gamma \text{cos}\alpha }{\text{sin}\beta }+\frac{\text{cos}\alpha \text{cos}\beta }{\text{sin}\gamma }+\sqrt[]{3}\mathrm{.}}\end{array}$ A bal és a jobb oldal első tagjának különbségét átalakítva: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{\text{sin}\beta \text{sin}\gamma }{\text{sin}\alpha }-\frac{\text{cos}\beta \text{cos}\gamma }{\text{sin}\alpha }}& {\displaystyle =\frac{\text{sin}\beta \text{sin}\gamma -\text{cos}\beta \text{cos}\gamma }{\text{sin}\alpha }=\frac{-\text{cos}\left(\beta +\gamma \right)}{\text{sin}\alpha }=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\text{cos}\left(\pi -\left(\beta +\gamma \right)\right)}{\text{sin}\alpha }=\frac{\text{cos}\alpha }{\text{sin}\alpha }=\text{ctg}\alpha \mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ezt hasonlóan elvégezve a második és harmadik taggal, majd a kapott eredményt beírva az egyenlőtlenségbe: $\text{ctg}\alpha +\text{ctg}\beta +\text{ctg}\gamma \ge \sqrt[]{3}$. A kotangens függvény a $\left]0;\frac{\pi }{2}\right[$ intervallumon szigorúan konvex. Ezért felírhatjuk rá a Jensen-egyenlőtlenséget: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{ctg}\alpha +\text{ctg}\beta +\text{ctg}\gamma }{3}\ge \text{ctg}\left(\frac{\alpha +\beta +\gamma }{3}\right)=\text{ctg}\frac{\pi }{3}=\frac{1}{\sqrt[]{3}}\mathrm{,}}\end{array}$ amiből $\text{ctg}\alpha +\text{ctg}\beta +\text{ctg}\gamma \ge \sqrt[]{3}$. Az egyenlőség a Jensen-egyenlőtlenségben akkor áll fenn, ha $\alpha =\beta =\gamma =\frac{\pi }{3}$. Ezzel az állítást igazoltuk.