Kezdőlap


Feladat:	C.1048	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Szilágyi Krisztina , Tokaji Brigitta
Füzet:	2012/február, 80. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Trigonometriai azonosságok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/október: C.1048

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás.

\begin{matrix} \frac{2 cos 40^{\circ} - cos 20^{\circ}}{sin 20^{\circ}} = \frac{2 cos (60^{\circ} - 20^{\circ}) - cos 20^{\circ}}{sin 20^{\circ}} = \\ = & \frac{2 (cos 60^{\circ} \cdot cos 20^{\circ} + sin 60^{\circ} \cdot sin 20^{\circ}) - cos 20^{\circ}}{sin 20^{\circ}} = \\ = & \frac{2 (\frac{1}{2} \cdot cos 20^{\circ} + \frac{\sqrt[]{3}}{2} \cdot sin 20^{\circ}) - cos 20^{\circ}}{sin 20^{\circ}} = \\ = & \frac{cos 20^{\circ} + \sqrt[]{3} \cdot sin 20^{\circ} - cos 20^{\circ}}{sin 20^{\circ}} = \\ = & \frac{\sqrt[]{3} \cdot sin 20^{\circ}}{sin 20^{\circ}} = \sqrt[]{3} . \end{matrix}

II. megoldás.

\begin{matrix} \frac{2 cos 40^{\circ} - cos 20^{\circ}}{sin 20^{\circ}} = \frac{2 cos (30^{\circ} + 10^{\circ}) - cos (30^{\circ} - 10^{\circ})}{sin (30^{\circ} - 10^{\circ})} = \\ = & \frac{2 (cos 30^{\circ} cos 10^{\circ} - sin 30^{\circ} sin 10^{\circ}) - (cos 30^{\circ} cos 10^{\circ} + sin 30^{\circ} sin 10^{\circ})}{sin 30^{\circ} cos 10^{\circ} - sin 10^{\circ} cos 30^{\circ}} = \\ = & \frac{2 (\frac{\sqrt[]{3}}{2} \cdot cos 10^{\circ} - \frac{1}{2} \cdot sin 10^{\circ}) - \frac{\sqrt[]{3}}{2} \cdot cos 10^{\circ} - \frac{1}{2} \cdot sin 10^{\circ}}{\frac{1}{2} \cdot cos 10^{\circ} - \frac{\sqrt[]{3}}{2} \cdot sin 10^{\circ}} = \\ = & \frac{\sqrt[]{3} \cdot cos 10^{\circ} - sin 10^{\circ} - \frac{\sqrt[]{3}}{2} \cdot cos 10^{\circ} - \frac{1}{2} \cdot sin 10^{\circ}}{\frac{1}{2} \cdot (cos 10^{\circ} - \sqrt[]{3} \cdot sin 10^{\circ})} = \\ = & \frac{\frac{\sqrt[]{3}}{2} \cdot cos 10^{\circ} - \frac{3}{2} \cdot sin 10^{\circ}}{\frac{1}{2} \cdot (cos 10^{\circ} - \sqrt[]{3} \cdot sin 10^{\circ})} = \frac{\frac{\sqrt[]{3}}{2} \cdot cos 10^{\circ} - \frac{{(\sqrt[]{3})}^{2}}{2} \cdot sin 10^{\circ}}{\frac{1}{2} \cdot (cos 10^{\circ} - \sqrt[]{3} \cdot sin 10^{\circ})} = \\ = & \frac{\frac{\sqrt[]{3}}{2} \cdot (cos 10^{\circ} - \sqrt[]{3} \cdot sin 10^{\circ})}{\frac{1}{2} \cdot (cos 10^{\circ} - \sqrt[]{3} \cdot sin 10^{\circ})} = \sqrt[]{3} . \end{matrix}