Feladat:	320. fizika mérési feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szabó Attila
Füzet:	2012/április, 246 - 249. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Mérési feladat, Mechanikai mérés
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/január: 320. fizika mérési feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A mérés eszközei: 4 db 1,5 literes üdítőspalack, csavarok, fogó, gázláng, vonalzó, tolómérő, alkoholos filctoll, stopperóra.   A mérés előkészítése. A méréshez 4 egyforma 1,5 literes üdítős palackot használtam (átmérője $D=85\pm 2$ mm, magassága kb. 25 cm). A palackok alján gázlánggal felizzított csavarokkal olvasztottam lyukakat, ezek a csavar hőmérsékletének köszönhetően közel szabályos kör alakúak lettek: az egyes lyukak átmérői rendre $d=2\mathrm{,}5\pm 0\mathrm{,}1$ mm, $3\mathrm{,}4\pm 0\mathrm{,}1$ mm, $4\mathrm{,}6\pm 0\mathrm{,}1$ mm és $5\mathrm{,}5\pm 0\mathrm{,}1$ mm. A lyukak körül csak kevés sorja jelent meg, ezeket is megpróbáltam eltávolítani. A palackokat a lyukak elkészítése után néhány cm magasságban megtöltöttem vízzel, majd hagytam kiürülni a lyukon keresztül: ez meghatározza a lyuk magasságát, ahová $H$ nullaszintjét kell igazítani. Itt alkoholos filccel megjelöltem a palackot, majd efölött cm-enként beosztottam a palack alsó részét, egészen addig, amíg a palack nyaka nem kezdett el szűkülni: az utolsó jelzés 18 cm-es magasságba került. A beosztások hibája kevesebb, mint 1 mm, ezt más hibaforrások mellett elhanyagolhatjuk.   A mérés menete. A palackot feltöltöttem teljes magasságban vízzel, majd a mosogató szélére állítottam, és hagytam a vizet kifolyni. Amikor a vízszint elérte az első ($H_0=18$ cm-es) jelet, elindítottam a stopperórát, majd minden osztás elérésekor részidőt mértem. Minden palackkal ötször mértem, az adatok átlagával számoltam. A $H$ magasságig megtöltött palack kiürüléséhez szükséges $T\left(H\right)$ időnek és a legfelső jelig feltöltött palack $H$ magasságig történő $t\left(H\right)$ kiürülési idejének összege együtt a teljesen feltöltött palack kiürülésének idejét ($T\left(H_0\right)=t\left(0\right)$) adja: $T\left(H\right)=t\left(0\right)-t\left(H\right)$. A mérés során a leírásból láthatóan $t\left(H\right)$ értékeit mérjük $0\le H<H_0$ értékeire, ebből számítjuk $T\left(H\right)$-t. A vízszint egyes jelekhez való megérkezésére elég jól fel lehetett készülni, viszont a felületi feszültség miatt a palack szélén felkúszó vízszint megnehezítette a leolvasást. Mindezek alapján az időmérések hibáját kb. 0,2 ‐ 0,3 s-nak vehetünk, ez $T$ legkisebb értékeitől eltekintve elhanyagolható.   A mért adatok $d=2\mathrm{,}5\text{mm}$ lyukméretnél:   ${\displaystyle \begin{array}{|cccccccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>H</mi></math> [cm] }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></math> [s] }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></math> [s] }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mrow></math> [s] }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msub></mrow></math> [s] }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></msub></mrow></math> [s]}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent="true"><mrow><mi>t</mi></mrow><mo stretchy="true">¯</mo></mover></math> [s] }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>T</mi></math> [s]}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{18 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 328,4 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 17 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{10,5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{10,4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 10,3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 10,8 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{10,5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{10,5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{317,9}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 16 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{21,3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 21,5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{21,2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 21,6}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{21,4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{21,4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{307,0}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 15 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{32,6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{32,5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{32,5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 32,4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{32,5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{32,5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{295,9}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 14 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{43,7 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{43,6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{43,7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 43,7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 44,2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{43,8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{284,6}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 13 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{55,8 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{55,3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 55,6}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{55,5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{55,4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{55,5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{272,9}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 12}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 67,5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 67,5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{67,5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 67,5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{67,9}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{67,6}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{260,8}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 11}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 80,5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{80,4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 80,3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 80,1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 80,3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{80,3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{248,1}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 10}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 93,3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{93,3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 93,4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{93,5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{93,4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{93,4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{235,0}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 9}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 107,5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{107,1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 107,2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{107,4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{107,0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{107,2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{221,1}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 8 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{121,5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 121,8 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{121,4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 121,7 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{121,4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{121,6}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{206,8}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 136,7 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{136,4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{136,6}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{136,9 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{136,7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{136,7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{191,7}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{152,9 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{153,1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 152,8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 152,8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 152,9}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{152,9}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{175,5}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 170,2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{170,1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{170,3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{170,1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{170,3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{170,2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{158,2}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{189,1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 189,3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{189,3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{189,1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 189,1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{189,2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{139,2}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{209,7 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{209,9 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{210,2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 210,1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{209,9}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{210,0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{118,4}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 234,4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{234,3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{234,4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{234,7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 234,4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{234,4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{93,9}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 265,2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 264,9}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 265,1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{264,8 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{265,4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{265,1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{63,3}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{328,2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{328,3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{328,4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 328,5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 328,5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{328,4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0,0}}\hfill \\ \hline\end{array}}$   Hasonló táblázatot készítettem a többi lyukátmérőhöz tartozó mérési adatokból is. (Ezeket terjedelmi okokból nem közöljük. A szerk.)   A mért adatok feldolgozása. A mérés során a $H_0=18$ cm magasságig feltöltött üvegből $H$ magasságig való kiürülés időtartamát, $t\left(H\right)$-t mérjük közvetlenül. A palack teljes kiürülési ideje $t\left(0\right)$, így a $H$ magasságból való kiürülés időtartama $T\left(H\right)=t\left(0\right)-t\left(H\right)$ módon számolható. $T$ kiszámítása előtt a $t$-re kapott adatokat átlagoltam, azokkal számoltam tovább. (Nyilvánvalóan ugyanezt az eredményt kapnánk akkor is, ha a két műveletet fordított sorrendben végezzük el.) A Torricelli-törvény szerint a kifolyási sebesség nem függ a lyuk méretétől, csak a folyadékoszlop magasságától. Ebből az következik, hogy az egységnyi idő alatt kifolyó víz térfogata arányos a lyuk keresztmetszetével (az átmérő négyzetével), emiatt a kifolyási idő a keresztmetszettel fordítottan arányos. Az elméletből következő összefüggést a mérési adatok segítségével megerősíthetjük. A következő táblázat $T{d}^2$ értékét tartalmazza ($\text{s}\cdot {\text{mm}}^2$ egységben) 5, 10 és 15 cm-es vízoszlopokra:   ${\displaystyle \begin{array}{|ccccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>h</mi></math> [cm] }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2,5 mm }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3,4 mm }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4,6 mm }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5,5 mm }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{989}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 948}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1060}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1016}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 10}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1470}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1390}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1540}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1480}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 15}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1850}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1740}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1930}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1850}}\hfill \\ \hline\end{array}}$   Az átmérő relatív hibája nagyságrendileg $\frac{1}{40}=2\mathrm{,}5\%$, ezért a táblázat adatainak relatív hibája ennek kétszerese, kb. 5%. Ezen a hibahatáron belül a táblázat soraiban szereplő adatok azonosak, ebből az elméleti megfontolás helyességére következtethetünk. Érdekes megfigyelni, hogy a 3,4 mm-es lyukhoz mindig kisebb, a 4,6 mm-es lyukhoz nagyobb adat tartozik, mint az átlag: ezt lehet, hogy a $d$ mérésénél elkövetett nagyobb hiba okozza. A közölt információ szerint a palack kiürüléséhez szükséges idő felírható $T=A{H}^{\alpha }$ alakban, és a feladat $\alpha$ meghatározása. Az összefüggés igazolására a mért adatokat a gnuplot program segítségével ábrázoltam, majd a megadott alakú görbét illesztettem rájuk. (Számítógép nélkül ez úgy oldható meg, hogy $\text{ln}T$-t ábrázoljuk $\text{ln}H$ függvényében, majd a grafikonra egyenest illesztünk. Az $\alpha$ kitevő az egyenes meredekségéből olvasható le.) Az adatokra valóban nagy pontossággal illeszthetők voltak ilyen alakú görbék, és az állandók és azok hibájának kiszámított értékei:   ${\displaystyle \begin{array}{|ccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi></math> [mm] }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> [s m<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow></mrow><mrow><mo stretchy="false">-</mo><mi>α</mi></mrow></msup></mrow></math>]}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{2,5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mn>,</mn><mn>5700</mn><mo>±</mo><mn>0</mn><mn>,</mn><mn>0002</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>872</mn><mn>,</mn><mn>7</mn><mo>±</mo><mn>0</mn><mn>,</mn><mn>4</mn></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 3,4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mn>,</mn><mn>5541</mn><mo>±</mo><mn>0</mn><mn>,</mn><mn>0003</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>430</mn><mn>,</mn><mn>7</mn><mo>±</mo><mn>0</mn><mn>,</mn><mn>3</mn></math> }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 4,6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mn>,</mn><mn>5446</mn><mo>±</mo><mn>0</mn><mn>,</mn><mn>0005</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>256</mn><mn>,</mn><mn>0</mn><mo>±</mo><mn>0</mn><mn>,</mn><mn>3</mn></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{ 5,5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mn>,</mn><mn>539</mn><mo>±</mo><mn>0</mn><mn>,</mn><mn>001</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>169</mn><mn>,</mn><mn>3</mn><mo>±</mo><mn>0</mn><mn>,</mn><mn>4</mn></math>}}\hfill \\ \hline\end{array}}$   A hatványkitevő értéke tehát 0,5 és 0,6 között mozog, kisebb lyukakra nagyobb az értéke. A kitevő elméleti értéke (az alább ismertetendő megfontolások szerint) 0,5; ennél a mért adatok határozottan nagyobbak. Ennek legvalószínűbb oka, amely a tendenciát is magyarázhatja, a lyukban áramló vízben fellépő belső súrlódás miatti energiaveszteség.   Kiegészítés: elméleti megfontolások. A Torricelli-törvény kiegészített alakja figyelembe veszi, hogy a lyuk körül kialakuló örvények felemésztik a mozgási energia egy részét: eszerint a kiömlési sebesség $v=k\sqrt[]{2gh}$ alakban adható meg, ahol $k$ a lyuk kialakítására jellemző állandó. Felhasználva a víz térfogatának csökkenése és a kiáramlási sebesség közötti $\begin{array}{c}{\displaystyle -\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=-\frac{D^2\pi }{4}\frac{\text{d}h}{\text{d}t}=\frac{d^2\pi }{4}v}\end{array}$ összefüggést, valamint a Torricelli-törvény fenti alakját, a magasság csökkenése és az időtartamok közötti kapcsolatra a következő differenciálegyenlet adódik: $\begin{array}{c}{\displaystyle -\frac{D^2}{k{d}^2\sqrt[]{2g}}\frac{\text{d}h}{\sqrt[]{h}}=\text{d}t\mathrm{,}}\end{array}$ aminek megoldásából $\begin{array}{c}{\displaystyle T=\frac{D^2}{k{d}^2}\sqrt[]{\frac{2}{g}}\sqrt[]{H}}\end{array}$ következik; a hatványkitevő elméleti értéke tehát 0,5. Mivel a mért értékek ehhez közel állnak, ezért megpróbálhatunk az adatokra ilyen, $T=B\sqrt[]{H}$ alakú görbét illeszteni. A $B$-re elméletileg kapott kifejezés alapján meghatározható $k$ értéke is. Az alábbi táblázat ezeket a (mérési adatok alapján) számított értékeket tartalmazza: