Feladat:	B.4636	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szőke Tamás
Füzet:	2015/január, 25 - 26. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Súlypont, Háromszög területe, Hossz, kerület, Számtani-mértani egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/május: B.4636

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyenek ennek a pontnak a háromszög $BC$, $AC$, $AB$ oldalaitól mért távolságai rendre $x$, $y$, $z$, a háromszög oldalai pedig $a$, $b$, $c$. A $BPC$, $CPA$, $APB$ háromszögek területének összege adja az egész háromszög területét, így: $\begin{array}{c}{\displaystyle ax+by+cz=2T\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $T$ a teljes háromszög területe. A számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenséget felírva $ax$-re, $by$-ra és $cz$-re: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{2T}{3}=\frac{ax+by+cz}{3}}& {\displaystyle \ge \sqrt[3]{ax\cdot by\cdot cz}=\sqrt[3]{abc\cdot xyz}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\left(\frac{2T}{3\sqrt[3]{abc}}\right)}^3}& {\displaystyle \ge xyz\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A bal oldal konstans, hiszen $T$, $a$, $b$, $c$ mind állandók egy adott háromszög esetén, a jobb oldalon pedig a vizsgált szorzat áll. Így az akkor lesz a legnagyobb, ha a számtani-mértani középnél egyenlőség áll fenn. Ez pontosan akkor teljesül, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{ax}{2}=\frac{by}{2}=\frac{cz}{2}=\frac{T}{3}\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis a kis háromszögek területei megegyeznek, és ez a nagy háromszög területének harmada. Először belátjuk, hogy csak egy olyan pont létezhet a háromszög belsejében, amelyre ez igaz. Ugyanis például $\frac{ax}{2}=\frac{T}{3}$ miatt a pontnak rajta kell lennie az $a$-val párhuzamos, attól $\frac{m_a}{3}$ távolságra haladó egyenesen, és hasonlóan igaz ez a többi oldalra is. Viszont mivel az eredeti oldalak közül semelyik kettő nem párhuzamos, így a velük párhuzamos egyenesek közt se lesz két párhuzamos, tehát legfeljebb egy metszéspontjuk lehet. A háromszög súlyvonalairól tudjuk, hogy a háromszög területét hat egyenlő részre osztják, illetve a súlypontot a csúcsokkal összekötve három egyenlő területű háromszöget kapunk. Tehát a súlypontra lesz maximális az oldalaktól mért távolságok szorzata.   Megjegyzés. Ugyanezt a feladatot a fizika rovatban is kitűztük (P. 4648. feladat), megoldása ebben a számban az 52. oldalon található.