Feladat:	B.4611	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Olexó Gergely
Füzet:	2015/január, 24 - 25. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Kocka, Síkra vonatkozó tükrözés, Egybevágósági transzformációk
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/február: B.4611

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Vegyünk fel egy térbeli derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy az origója legyen a kocka egyik csúcsa, tengelyei essenek egybe a kocka e csúcsán átmenő élegyeneseivel, az egységet pedig válasszuk úgy, hogy a kocka origóval szemközti csúcsa az $\left(1;1;1\right)$ pont legyen. Ekkor a kocka lapsíkjainak egyenletei rendre $X=0$, $X=1$, $Y=0$, $Y=1$, $Z=0$ és $Z=1$ (1. ábra). Az e síkokra való tükrözések egy tetszőleges $\left(a;b;c\right)$ pontot rendre a $\left(-a;b;c\right)$, $\left(2-a;b;c\right)$, $\left(a;-b;c\right)$, $\left(a;2-b;c\right)$, $\left(a;b;-c\right)$ és $\left(a;b;2-c\right)$ pontokba visznek át. Tehát a tükrözések során mindig csak a pont egyik koordinátája változik, párhuzamos síkokra való tükrözések esetén ugyanaz a koordináta, merőleges síkokra való tükrözések esetén pedig más-más koordináta. Vagyis az egymásra merőleges síkokra való tükrözések sorrendje felcserélhető, két egymással párhuzamos síkra való tükrözés pedig a pontok két-két koordinátáját változatlanul hagyja, egy koordinátáját pedig vagy 2-vel növeli, vagy 2-vel csökkenti ($d\mapsto -d\mapsto 2-\left(-d\right)=d+2$, vagy $d\mapsto 2-d\mapsto -\left(2-d\right)=d-2$, 2. ábra), azaz e két tükrözés egymásutánja egy olyan 2 hosszú vektorral való eltolás, mely vektor párhuzamos valamelyik koordinátatengellyel.   1. ábra     2. ábra   A hat tükrözés után tehát az $\left(a;b;c\right)$ pont az $\left(a\pm 2;b\pm 2;c\pm 2\right)$ pontba kerül. Vagyis a tükrözések egymásutánja megfelel egy eltolásnak valamely $\text{v}=\left(\pm 2;\pm 2;\pm 2\right)$ vektorral. Ezért az előjelek választásától (ami a párhuzamos síkokra való két-két tükrözés sorrendjén múlik) függően $2^3=8$ különböző transzformációt kaphatunk.   Megjegyzés. A hat tükrözés egymásutánjaként kapott eltolások mindegyikének iránya párhuzamos a kocka valamelyik testátlójával, hossza pedig a testátló kétszerese.