Feladat:	4734. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Asztalos Bogdán ,  Radnai Bálint
Füzet:	2016/február, 120 - 121. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Pontrendszerek mozgásegyenletei
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/április: 4734. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $a)$ A három egyforma tömegű golyó kezdetben egy szabályos háromszög $A$, $B$ és $C$ csúcspontjában található, a rendszer tömegközéppontja a háromszög $T$ súlypontja (1. ábra).   1. ábra   Az $AB$ fonál elvágása után a $Q$ töltésű golyók elkezdenek távolodni egymástól, de mivel fonál köti őket össze a $2Q$ töltésű golyóval, a megfeszülő fonalak hatására görbevonalú mozgást fognak végezni. A fonálerők hatására a $2Q$ töltésű golyó is mozgásba jön, a mozgása egyenes vonalú, de nem egyenletesen változó. Mivel az elrendezés a szabályos háromszög $C$ csúcsához tartozó szögfelezőre nézve szimmetrikus, a $2Q$ töltésű golyó ezen szögfelező mentén fog mozogni, és a másik két golyó mozgása is erre a szögfelezőre nézve tükörszimmetrikus lesz. A rendszerre nem hat vízszintes irányú külső erő, emiatt a három test tömegközéppontja a mozgás során mindvégig a $T$ pont marad. Amikor a $2Q$ töltésű test sebessége maximális, a gyorsulása nulla, tehát a rá ható erők eredője is nulla kell, hogy legyen. Ez akkor következik be, amikor a két (el nem vágott) fonál egy egyenesbe esik. Ekkor ‐ a tömegközéppontra vonatkozó megmaradási tétel értelmében ‐ a $2Q$ töltésű golyó éppen a $T$ pontba kerül, és ha a két szélső golyó sebessége $v$, a középső golyó sebessége a másik kettőével ellentétes irányú és $2v$ nagyságú (2. ábra).   2. ábra   A maximális sebességek nagysága az energiamegmaradás törvényéből határozható meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle k\frac{Q^2}{L}+2\cdot k\frac{2Q^2}{L}=k\frac{Q^2}{2L}+2\cdot k\frac{2Q^2}{L}+2\cdot \frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}m{\left(2v\right)}^2\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan a $Q$ töltésű golyók sebességére $\begin{array}{c}{\displaystyle v=\sqrt[]{\frac{k{Q}^2}{6mL}}\mathrm{,}}\end{array}$ a $2Q$ töltéső golyó legnagyobb sebességére pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle 2v=\sqrt[]{\frac{2k{Q}^2}{3mL}}}\end{array}$ adódik. $b)$ A $Q$ töltésű golyók (a fonalak adott $L$ hosszúsága miatt) körpályán mozognak a $2Q$ töltésű golyó körül. Bár a $2Q$ töltésű golyó (a fonálerők és az elektrosztatikus erők miatt) folyamatosan gyorsul, a legnagyobb sebesség elérésének pillanatában a két fonálerő éppen kiegyenlíti egymást, tehát a középső golyó (ebben a pillanatban) tekinthető egy inerciarendszer origójának. Ebben a rendszerben a szélső golyók sebessége a középső, álló golyóhoz képest $3v$. A fonalakat feszítő $F$ erő az $\begin{array}{c}{\displaystyle F-k\frac{Q\cdot 2Q}{L^2}-k\frac{Q\cdot Q}{{\left(2L\right)}^2}=m\frac{{\left(3v\right)}^2}{L}}\end{array}$ mozgásegyenletből ($v$ korábban kiszámított értékének ismeretében) könnyen meghatározható: $\begin{array}{c}{\displaystyle F=\frac{15}{4}\frac{k{Q}^2}{L^2}\mathrm{.}}\end{array}$ $c)$ A $2Q$ töltésű golyó elmozdulása az indulásától a legnagyobb sebességének eléréséig a szabályos háromszög súlyvonalának $\frac{2}{3}$ része: $\begin{array}{c}{\displaystyle CT=\frac{2}{3}L\frac{\sqrt[]{3}}{2}=\frac{L}{\sqrt[]{3}}\mathrm{.}}\end{array}$ A másik két golyó $AA\text{'}$ és $BB\text{'}$ elmozdulása is ugyanekkora, hiszen a 2. ábrán látható $TAA\text{'}$ és $TAC$ háromszög egybevágó, így $\begin{array}{c}{\displaystyle AA\text{'}=CT=\frac{L}{\sqrt[]{3}}\mathrm{,}}\end{array}$ és a szimmetria miatt $BB\text{'}=AA\text{'}$.