Feladat:	4733. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Berta Dénes ,  Bugár Dávid ,  Trócsányi Péter
Füzet:	2016/február, 118 - 119. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Fermat-elv
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/április: 4733. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A P. 4646. feladatnak a Fermat-elvre hivatkozó megoldása szerint a levegőből egy $n$ törésmutatójú üvegrúdba belépő fénysugarak akkor fókuszálódnak az üvegrúd tengelyén egyetlen ($f$ távolságban lévő) pontba, ha az üveg határfelülete az $\begin{array}{c}{\displaystyle y+n\sqrt[]{x^2+{\left(f-y\right)}^2}=nf}\end{array}$ (1) egyenlettel jellemzett vezérgörbéjű forgásfelület. Ez az egyenlet algebrai átalakítások után $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x^2}{\frac{n-1}{n+1}{f}^2}+\frac{{\left(y-\frac{n}{n+1}f\right)}^2}{{\left(\frac{n}{n+1}f\right)}^2}=1}\end{array}$ (2) alakra hozható, ami egy olyan ellipszist ír le, amelynek féltengelyei $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{n}{n+1}f\text{és}b=\sqrt[]{\frac{n-1}{n+1}}f\mathrm{.}}\end{array}$ A fenti megállapítások a jelen feladatra (amikor az $n$ törésmutatójú üvegből lépnek ki a fénysugarak és a levegőben fókuszálódnak) is érvényben maradnak, ha az (1) és (2) képletekben $n$ helyébe $1/n$-et írunk, hiszen éppen ekkora a levegőnek üvegre vonatkoztatott (relatív) törésmutatója. Ezek szerint a határfelület vezérgörbéjének egyenlete: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x^2}{\frac{1-n}{1+n}{f}^2}+\frac{{\left(y-\frac{1}{1+n}f\right)}^2}{{\left(\frac{1}{1+n}f\right)}^2}=1.}\end{array}$ (2') Ez az egyenlet (mivel $1-n<0$, tehát az $x^2$-es tag együtthatója negatív) egy olyan hiperbolát ír le, amelynek féltengelyei: $\begin{array}{c}{\displaystyle a\text{'}=\frac{1}{1+n}f\text{és}b\text{'}=\sqrt[]{\frac{n-1}{n+1}}f\mathrm{,}}\end{array}$ és ezek segítségével a vezérgörbe egyenlete: $\begin{array}{c}{\displaystyle -\frac{x^2}{b{\text{'}}^2}+\frac{{\left(y-a\text{'}\right)}^2}{a{\text{'}}^2}=1.}\end{array}$ Megjegyzés. Az ábrán $F$-fel jelölt optikai fókuszpont (amely az üvegrúd ,,csúcsától'' $f$ távolsága van) éppen a távolabbi hiperbolaág matematikai értelemben vett fókuszpontjával esik egybe, hiszen ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle c+a\text{'}=\sqrt[]{a{\text{'}}^2+b{\text{'}}^2}+a\text{'}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\sqrt[]{\frac{f^2}{{\left(1+n\right)}^2}+\frac{n-1}{n+1}{f}^2}+\frac{1}{n+1}f=f\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$