Feladat:	4727. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2016/február, 118. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb merev testek mechanikája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/április: 4727. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Megmutatjuk, hogy a keresett síkidom kör. Tegyük fel ennek ellenkezőjét, vagyis hogy található olyan ‐ a körtől eltérő alakú ‐ síkidom, amelynek megfelelő lemez (tömegközépponti tengelyre vonatkoztatott) $\Theta$ tehetetlenségi nyomatéka (az adott feltételek teljesülése esetén) a lehető legkisebb. Helyezzük ezt a síkidomot a vele azonos területű körlapra úgy, hogy a tömegközéppontja a kör $O$ középpontjára kerüljön (lásd az ábrát). A síkidomnak (mivel a területe megegyezik a kör területével) biztosan lesznek a körön kívül részei ($\text{A}$), és olyan területek is lesznek a körlapon, amelyeket nem fed le a feltételezett síkidom ($\text{B}$). Ha az $\text{A}$ tartomány valamelyik kicsiny darabkáját áthelyezzük $\text{B}$-be, az $O$ pontra vonatkozó $\Theta \text{'}$ tehetetlenségi nyomatéka biztosan kisebb lesz $\Theta$-nál, hiszen az áthelyezett darabka $O$-tól mért távolsága lecsökkent. Igaz ugyan, hogy a megváltoztatott síkidom $O\text{'}$ tömegközéppontja eltérhet $O$-tól, de a Steiner-tétel szerint az új tömegközéppontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték még $\Theta \text{'}$-nél is kisebb, tehát $\Theta$-nál is biztosan kisebb. Ez ellentmond annak a feltevésünknek, hogy az azonos területű síkidomok közül egy körtől eltérő alakzat tehetetlenségi nyomatéka lenne a legkisebb; tehát a minimális tehetetlenségi nyomatékú síklemez kör alakú kell, hogy legyen.