Feladat:	B.4604	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Andó Angelika ,  Geng Máté
Füzet:	2015/január, 20 - 22. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Magasabb fokú egyenletek, Nevezetes azonosságok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/február: B.4604

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A nevezőben nem lehet nulla, így $x\ne \frac{1}{2}$. A  egyenlet bal oldalán két köb összege szerepel, amelynek a felírásához az összeg köbét használjuk majd fel. Ennek érdekében írjuk fel először a bal oldalon szereplő $x$ és $\frac{x}{2x-1}$ összegének köbét. Egyrészt $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x+\frac{x}{2x-1}\right)}^3={\left(\frac{\left(2x-1\right)x+x}{2x-1}\right)}^3={\left(\frac{2x^2}{2x-1}\right)}^3\mathrm{,}}\end{array}$ másrészt a köbös azonosság alapján, az egyenletet felhasználva ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\left(x+\frac{x}{2x-1}\right)}^3}& {\displaystyle =x^3+{\left(\frac{x}{2x-1}\right)}^3+3x^2\frac{x}{2x-1}+3x{\left(\frac{x}{2x-1}\right)}^2=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{243}{64}+3\left(\frac{x^3}{2x-1}+\frac{x^3}{{\left(2x-1\right)}^2}\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{243}{64}+3\left(\frac{\left(2x-1\right)x^3+x^3}{{\left(2x-1\right)}^2}\right)=\frac{243}{64}+3\left(\frac{2x^4}{{\left(2x-1\right)}^2}\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A kétféle felírás egybevetésével $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{2x^2}{2x-1}\right)}^3=\frac{243}{64}+3\left(\frac{2x^4}{{\left(2x-1\right)}^2}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát 64-gyel, majd ezután vezessük be az $y$ új ismeretlent az $\frac{8x^2}{2x-1}$ helyett: $\begin{array}{c}{\displaystyle 64{\left(\frac{2x^2}{2x-1}\right)}^3=243+3\cdot 64\left(\frac{2x^4}{{\left(2x-1\right)}^2}\right)\mathrm{,}{y}^3-6y^2-243=0.}\end{array}$ Ha az egyenletnek van racionális gyöke, amely $y=\frac{p}{q}$ alakban áll elő, akkor $p\mid a_0=-243$ és $q\mid a_3=1$, tehát a racionális gyök egész. Mivel $243=3^5$, legfeljebb öt próbálkozás után látható, hogy ennek az egyenletnek $y=9$ megoldása, mert $\begin{array}{c}{\displaystyle 9^3-6\cdot 81-243=729-486-243=0.}\end{array}$ A megtalált gyök ismeretében alakítsuk szorzattá az egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(y-9\right)\left(y^2+3y+27\right)=0.}\end{array}$ A második tényező nem lehet nulla, mert az $y^2+3y+27=0$ egyenlet diszkriminánsa negatív. Tehát $y$-ra egyedüli megoldás az $y=9$. Visszahelyettesítve $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{8x^2}{2x-1}=\mathrm{9,}8x^2-18x+9=0.}\end{array}$ Ennek az egyenlet a gyökei megoldóképlettel már számolhatók: $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1=\frac{3}{4}\text{és}{x}_2=\frac{3}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ amelyek ‐ mint arról behelyettesítéssel meggyőződhetünk ‐ valóban megoldásai is az egyenletnek.   II. megoldás. Legyen $y=\frac{x}{2x-1}$. Ezt átrendezve $\begin{array}{c}{\displaystyle x=2xy-y\mathrm{,}2xy=x+y\mathrm{.}}\end{array}$ Látjuk, hogy amennyiben $x+y=a$, úgy $2xy=a$. Ezzel az új jelöléssel az eredeti egyenlet bal oldala $\begin{array}{c}{\displaystyle x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=a\left(a^2-3xy\right)=a\left(a^2-\frac{3}{2}a\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Behelyettesítve, $64$-gyel szorozva és rendezve a $\begin{array}{c}{\displaystyle 64a^3-96a^2-243=0}\end{array}$ alakú egész együtthatós harmadfokú egyenletet kapjuk. Az első megoldásnál már megismert eljárás szerint, ha az egyenletnek van racionális gyöke, akkor annak számlálója a $243$-nak, nevezője pedig a $64$-nek osztója. Ebből néhány próbálkozással látható, hogy $a=\frac{9}{4}$ megoldása az egyenletnek, kiemelhető a $\left(4a-9\right)$ tényező az egyenletből: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(4a-9\right)\left(16a^2+12a+27\right)=0.}\end{array}$ A $16a^2+12a+27=0$ másodfokú egyenlet diszkriminánsa negatív, nincs valós gyöke. A harmadfokú egyenlet egyetlen valós gyöke tehát $a=\frac{9}{4}$. Innen $\begin{array}{c}{\displaystyle 2xy=x\left(\frac{x}{2x-1}\right)=\frac{9}{4}\mathrm{,}8x^2-18x+9=\mathrm{0,}{x}_1=\frac{3}{2}\text{ és }{x}_2=\frac{3}{4}\mathrm{.}}\end{array}$ Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy mindkét tört valóban megoldása az eredeti egyenletnek.