Feladat:	B.4582	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kacz Dániel
Füzet:	2015/január, 13 - 14. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyenletek, Prímtényezős felbontás, Osztók száma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/december: B.4582

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az $n=1$ nem megoldása az egyenletnek, ezért $n\ge 2$. Legyen $n$ prímtényezős felbontása $n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\text{...}{p}_k^{a_k}$, ahol $k\ge 1$, $p_1\mathrm{,}{p}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{p}_k$ különböző prímszámok, és $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_k$ pozitív egészek. Ezekkel a jelölésekkel ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle d\left(n\right)}& {\displaystyle =\left(a_1+1\right)\left(a_2+1\right)\text{...}\left(a_k+1\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle d\left(n^3\right)}& {\displaystyle =\left(3a_1+1\right)\left(3a_2+1\right)\text{...}\left(3a_k+1\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A $3a_i+1$ alulról becsülhető: $\begin{array}{c}{\displaystyle 3a_i+1=2a_i+a_i+1\ge 2a_i+2=2\left(a_i+1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt felhasználva ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 5\cdot d\left(n\right)}& {\displaystyle =5\cdot \left(a_1+1\right)\left(a_2+1\right)\text{...}\left(a_k+1\right)=\left(3a_1+1\right)\left(3a_2+1\right)\text{...}\left(3a_k+1\right)\ge }\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \ge 2\left(a_1+1\right)2\left(a_2+1\right)\text{...}2\left(a_k+1\right)=2^k\cdot d\left(n\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 5\cdot d\left(n\right)}& {\displaystyle \ge 2^k\cdot d\left(n\right)\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ ahol $k$ pozitív egész. Ebből már látható, hogy csak $k=1$ és $k=2$ lehetséges. Ha $k=1$, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle 5\left(a_1+1\right)=3a_1+\mathrm{1,}{a}_1=-\mathrm{2,}}\end{array}$ nem kapunk megoldást. Legyen végezetül $k=2$. Ekkor kapjuk, hogy ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 5\left(a_1+1\right)\left(a_2+1\right)}& {\displaystyle =\left(3a_1+1\right)\left(3a_2+1\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 5}& {\displaystyle =4a_1{a}_2-2a_1-2a_2+\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 5}& {\displaystyle =\left(2a_1-1\right)\left(2a_2-1\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Az 5 csak egyféleképpen bontható pozitív egészek szorzatává. Látjuk, hogy $a_1$ és $a_2$ közül az egyik 1, a másik 3. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy $a_1=3$ és $a_2=1$. Tehát $n=p^3\cdot q$, ahol $p$ és $q$ különböző prímek. Az ilyen alakú számok valóban megoldások, mert $d\left(n\right)=d\left(p^{3}q\right)=4\cdot 2=8$ és $d\left(n^3\right)=d\left(p^9{q}^3\right)=10\cdot 4=40$.