Feladat:	C.1226	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Porupsánszki István ,  Telek Máté László
Füzet:	2015/január, 10 - 11. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Másodfokú diofantikus egyenletek, Esetvizsgálat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/április: C.1226

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Próbáljuk meg a bal oldalt teljes négyzetek összegeként vagy különbségeként felírni. Mivel szerepel benne $2xy$ és $-2x$, nézzük meg, mi marad, ha az ${\left(x+y-1\right)}^2$ kifejezést beírjuk: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^2-3y^2+2xy-2x-10y+20}& {\displaystyle ={\left(x+y-1\right)}^2-4y^2-8y+19=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left(x+y-1\right)}^2-{\left(2y+2\right)}^2+23.}\hfill \end{array}}$ Tehát az egyenlet így alakul: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\left(x+y-1\right)}^2-{\left(2y+2\right)}^2}& {\displaystyle =-\mathrm{23,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(x+y-1+2y+2\right)\left(x+y-1-2y-2\right)}& {\displaystyle =-\mathrm{23,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(x+3y+1\right)\left(x-y-3\right)}& {\displaystyle =-23.}\hfill \end{array}}$ A $-23$ kétféleképpen áll elő két egész szám szorzataként: $-23=\left(-1\right)\cdot 23=1\cdot \left(-23\right)$. I. eset: $x+3y+1=-1$, $x-y-3=23$. Az elsőből a másodikat kivonva: $4y+4=-24$, amiből $y=-7$, és innen $x=19$. II. eset: $x+3y+1=1$, $x-y-3=-23$. Ebből $4y+4=24$, amiből $y=5$ és $x=-15$ következik. III. eset: $x+3y+1=23$, $x-y-3=-1$. Innen $4y+4=24$, amiből $y=5$ és $x=7$ következik. IV. eset: $x+3y+1=-23$, $x-y-3=1$, ahonnan $4y+4=-24$, és így $y=-7$ és $x=-3$ következik. Ekvivalens átalakításokat végeztünk, így a négy megoldás: $\left(x_1;y_1\right)=\left(19;-7\right)$, $\left(x_2;y_2\right)=\left(-15;5\right)$, $\left(x_3;y_3\right)=\left(7;5\right)$, $\left(x_4;y_4\right)=\left(-3;-7\right)$.   II. megoldás. Írjuk fel a másodfokú egyenlet megoldóképletét $x$-re: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle =x^2-3y^2+2xy-2x-10y+20=x^2+2\left(y-1\right)x-3y^2-10y+\mathrm{20,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x_{1;2}}& {\displaystyle =\frac{-2\left(y-1\right)\pm \sqrt[]{4{\left(y-1\right)}^2-4\left(-3y^2-10y+20\right)}}{2}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =-y+1\pm \sqrt[]{y^2-2y+1+3y^2+10y-20}=-y+1\pm \sqrt[]{4y^2+8y-19}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Az $y$ egész szám, ezért $x$ akkor egész, ha a gyök alatt négyzetszám áll: $4y^2+8y-19=n^2$, ahol $n\in {\text{Z}}^{+}$. Ezt tovább alakítva: ${\left(2y+2\right)}^2-23=n^2$, azaz ${\left(2y+2\right)}^2-n^2=23$. Mivel $2y+2$ és $n$ is egész, két olyan négyzetszámot keresünk, melyek különbsége 23. A négyzetszámok sorozata az első 13 elemig felírva: A különbség ezután csak nő, ezért az egyetlen megoldás (a nem szomszédos elemeket is végignézve) a $144-121=23$. Tehát ${\left(2y+2\right)}^2=121+23=144$, amiből $2y+2=\pm 12$. I. eset: $2y+2=12$, ebből $y=5$ és $x_{1;2}=-5+1\pm \sqrt[]{4\cdot 25+8\cdot 5-19}=4\pm 11$, $x_1=7$ és $x_2=-15$. II. eset: $2y+2=-12$, ebből $y=-7$ és $x_{3;4}=7+1\pm \sqrt[]{4\cdot 49-8\cdot 7-19}=8\pm 11$, $x_3=19$ és $x_4=-3$. Az egyenlet megoldásai: $\left(7;5\right)$, $\left(-15;5\right)$, $\left(19;-7\right)$, $\left(-3;-7\right)$.