Kezdőlap


Feladat:	2014. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 21. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Janzer Barnabás
Füzet:	2014/október, 391. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia, Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek hasonlósága, Húrnégyszögek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/szeptember: 2014. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 21. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Janzer Barnabás megoldása. Legyen a háromszög három oldala a szokásos jelölésekkel $a$ , $b$ és $c$ . A $C A Q$ és $C B A$ háromszögek hasonlóak, mert a feladat feltételei miatt két megfelelő szögük azonos nagyságú. Így $\frac{A Q}{C A} = \frac{B A}{C B}$ , vagyis $A Q = \frac{C A}{C B} \cdot B A = \frac{b c}{a}$ . Ebből $A N = 2 \cdot \frac{b c}{a}$ .
Legyen $H$ a $B C$ szakasz felezőpontja. Ekkor $B A H$ és $A N C$ háromszögek hasonlók, mivel egy szögük és a mellette lévő két oldal aránya azonos: $A B H ∢ = N A C ∢$ , valamint

\begin{matrix} \frac{B A}{B H} = \frac{c}{\frac{a}{2}} = \frac{2 c}{a} és \frac{A N}{A C} = \frac{2 \cdot \frac{b c}{a}}{b} = \frac{2 c}{a} . \end{matrix}

Így a hasonlóságból

A C N ∢ = B H A ∢

. Hasonlóan

A B M ∢ = A H C ∢

. Így ha a

B M

és

C N

egyenesek metszéspontja

R

A B R ∢ + R C A ∢ = A H C ∢ + B H A ∢ = 180^{\circ}

, így

A B R C

húrnégyszög, és ezt kellett belátni.