Kezdőlap


Feladat:	2014. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Homonnay Bálint
Füzet:	2014/október, 386 - 387. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Egyenlőtlenségek, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/szeptember: 2014. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Homonnay Bálint megoldása. Tegyük fel, hogy egy $n$ -re

\begin{matrix} \frac{a_{0} + a_{1} + ... + a_{n}}{n} \leq a_{n + 1} . \end{matrix}

Szorozva

n

-nel, hozzáadva

a_{n + 1}

-et és osztva

n + 1

-gyel azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{a_{0} + a_{1} + ... + a_{n + 1}}{n + 1} \leq a_{n + 1}, \end{matrix}

tehát ha

n

-re igaz az állítás, akkor

n + 1

-re nem lehet az. Mivel a sorozat szigorúan monoton nő, ezért semmilyen

n

-nél nagyobb számra nem lehet igaz, tehát legfeljebb egy számra lehet igaz az állítás.
Mivel

a_{1} < \frac{a_{0} + a_{1}}{1}

, csak akkor nem lehet megoldás, ha minden

n

-re

\begin{matrix} \frac{a_{0} + a_{1} + ... + a_{n}}{n} > a_{n + 1} . \end{matrix}

Indukcióval belátjuk, hogy ha nincs megoldás, akkor minden

i

-re

\begin{matrix} a_{i + 1} < \frac{a_{0} + a_{1} + ... + a_{i}}{i} és a_{i} < a_{0} + a_{1} . \end{matrix}

Szorozva, majd használva az indukciós feltevést és a sorozat monotonitását:

\begin{matrix} i \cdot a_{i + 1} < a_{0} + a_{1} + ... + a_{i} < a_{0} + a_{1} + (i - 1) (a_{0} + a_{1}) = i (a_{0} + a_{1}), a_{i + 1} < a_{0} + a_{1}, \end{matrix}

illetve

i

-vel szorozva és

a_{i + 1}

-et hozzáadva

\begin{matrix} (i + 1) a_{i + 1} < a_{0} + a_{1} + ... + a_{i + 1}, azaz a_{i + 1} < \frac{a_{0} + a_{1} + ... + a_{i + 1}}{i + 1}; \end{matrix}

ha nincs megoldás, ekkor ebből valóban

a_{i + 2} < \frac{a_{0} + a_{1} + ... + a_{i + 1}}{i + 1}

következik. Mivel a sorozat szigorúan monoton növekszik,

i = a_{0} + a_{1} + 1

-re ez az állítás nem lehet igaz, tehát mindig van megoldás, és feljebb már igazoltuk, hogy ez egyértelmű.