Feladat:	4747. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bugár Dávid
Füzet:	2015/december, 569 - 570. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Kötelek (láncok) egyensúlya
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/május: 4747. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelöljük a lánc teljes hosszát $L$-lel, teljes súlyát $G$-vel. A lánc két végén ható erők függőleges komponense $G/2$ , a vízszintes komponensük pedig (a ${45}^{\circ }$-os szögek miatt) $\pm \left(G/2\right)$ (1. ábra).   1. ábra   Tekintsük a láncnak egy olyan $P$ pontját, amely pont és a legmélyebb $O$ pont közötti láncdarab hossza $\ell$ (2. ábra). Ennek a láncdarabnak a súlya arányos $\ell$-lel, és mivel $\ell =L/2$ esetén a súly $G/2$, általános esetben $\begin{array}{c}{\displaystyle G\left(\ell \right)=\frac{G}{L}\ell \mathrm{.}}\end{array}$   2. ábra   A $P$ pontban ható (a lánc többi része által kifejtett) erő vízszintes komponense mindenhol ugyanakkora (hiszen a láncdarabra nem hat vízszintes irányú külső erő): $\begin{array}{c}{\displaystyle F_1=\text{állandó}=\frac{G}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ a függőleges komponens pedig a láncdarab súlya: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_2\left(\ell \right)=\frac{G}{L}\ell \mathrm{.}}\end{array}$ Ezek ismeretében ki tudjuk számítani a lánc meredekségét a $P$ pontban: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\alpha =\frac{F_2}{F_1}=\frac{2}{L}\ell \mathrm{.}}\end{array}$ (1) Mennyit változik ez a meredekség, ha $P$-ből egy kicsiny $\Delta \ell$-lel hosszabb láncdarab $P\text{'}$ végpontjába ,,megyünk át''? A 3. ábráról leolvashatjuk, hogy kicsiny $\Delta \alpha$ esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta \left(\text{tg}\alpha \right)=BD\approx BC\frac{1}{\text{cos}\alpha }=\frac{1}{\text{cos}{}^2\alpha }\Delta \alpha =\left(1+\text{tg}{}^2\alpha \right)\Delta \alpha \mathrm{.}}\end{array}$ (2) (A képlet csak közelítőleg, kicsiny $\Delta \alpha$-ra igaz, mert az $OD$-re merőleges $BC$ szakasz hosszát egy kicsiny körív hosszával helyettesítettük.)   3. ábra     Megjegyzés. A fenti összefüggés a differenciálszámítás formuláiból is megkapható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{d(<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math>)}}{\text{d}\alpha }=1+\text{tg}{}^2\alpha =\frac{1}{\text{cos}{}^2\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$   Az (1) és (2) összefüggésekből azt kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1+\text{tg}{}^2\alpha \right)\Delta \alpha =\frac{2}{L}\cdot \Delta \ell =\frac{2}{L}\cdot R\Delta \alpha \mathrm{.}}\end{array}$ (3) Az utolsó lépésben kihasználtuk, hogy $\Delta \ell =R\Delta \alpha$, ahol $R$ a lánc görbületi sugara (a simulókörének sugara) a kérdéses pontban (lásd a 4. ábrát).   4. ábra   A (3) összefüggésből (2) felhasználásával megkaphatjuk a lánc görbületi sugarát a lánc tetszőleges pontjában: $\begin{array}{c}{\displaystyle R\left(\ell \right)=\frac{L}{2}+\frac{2{\ell }^2}{L}\mathrm{,}}\end{array}$ és így a kérdéses speciális helyeken is. $a)$ A lánc legalsó pontjában $\begin{array}{c}{\displaystyle R\left(\ell =0\right)=\frac{L}{2}=20\text{cm, }}\end{array}$ $b)$ a felfüggesztési pontokban pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle R\left(\ell =\frac{1}{2}L\right)=L=40\text{cm. }}\end{array}$