Feladat:	4719. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fekete Balázs Attila
Füzet:	2015/december, 568. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Munka
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/március: 4719. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Ha a kajakosnak a parthoz viszonyított sebessége $v$, akkor a $v_0$ sebességű folyó vizéhez képest $v+v_0$ sebességgel kell mozognia. A közegellenállási erő és annak teljesítménye szempontjából csak a vízhez viszonyított sebesség lényeges: $\begin{array}{c}{\displaystyle F\left(v\right)=k\cdot {\left(v+v_0\right)}^2\mathrm{,}\text{illetve}P\left(v\right)=F\left(v\right)\cdot \left(v+v_0\right)=k\cdot {\left(v+v_0\right)}^3\mathrm{.}}\end{array}$ A folyón felfelé haladva egy adott $s$ távolságot $t=s/v$ idő alatt tesz meg a kajakos, ezalatt $\begin{array}{c}{\displaystyle W\left(v\right)=P\left(v\right)\cdot t=ks\cdot \frac{{\left(v+v_0\right)}^3}{v}}\end{array}$ munkát kell végeznie. Mivel $ks$ a sebességtől független állandó, $W\left(v\right)$ minimumát az $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(v\right)\equiv \frac{{\left(v+v_0\right)}^3}{v}}\end{array}$ függvény minimuma határozza meg. Alkalmazzuk $f\left(v\right)$-re a számtani és mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenséget: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\left(v+v_0\right)}^3}{v}=27\frac{{\left(\frac{v+\frac{1}{2}{v}_0+\frac{1}{2}{v}_0}{3}\right)}^3}{v}\ge 27\frac{v\cdot \frac{1}{2}{v}_0\cdot \frac{1}{2}{v}_0}{v}=\frac{27}{4}{v}_0^2\mathrm{.}}\end{array}$ Az egyenlőség akkor áll fenn, amikor a kajakos sebessége a parthoz képest $\begin{array}{c}{\displaystyle v=\frac{1}{2}{v}_0=2\mathrm{,}5\frac{\text{m}}{\text{s}}\mathrm{,}}\end{array}$ a vízhez viszonyítva pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle v+v_0=\frac{3}{2}{v}_0=7\mathrm{,}5\frac{\text{m}}{\text{s}}\mathrm{.}}\end{array}$