Feladat:	4717. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Wiandt Péter
Füzet:	2015/december, 567. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb erőtörvény
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/március: 4717. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyen az erők nagysága $F_1$ és $F_2$, a szögük pedig $\alpha$. Az eredő erő nagysága a vektorösszeadás szabálya és a koszinusztétel szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle F=\sqrt[]{F_1^2+F_2^2+2F_1{F}_2\text{cos}\alpha }=\frac{F_1+F_2}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ ami algebrai átalakítások után így írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2-8\text{cos}\alpha }{3}=\frac{F_1}{F_2}+\frac{F_2}{F_1}\mathrm{.}}\end{array}$ Tudjuk (a számtani és a mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenségből), hogy egy számnak és reciprokának összege legalább 2, emiatt $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2-8\text{cos}\alpha }{3}\ge \mathrm{2,}\text{azaz}\text{cos}\alpha \le -\frac{1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát fennáll, hogy ${120}^{\circ }\le \alpha \le {180}^{\circ }$. Ebben az intervallumban $\text{cos}\alpha$  $-\frac{1}{2}$ és $-1$ közötti értékeket vesz fel, tehát az erők nagyságának $x=F_1/F_2$ arányára a $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\le x+\frac{1}{x}\le \frac{10}{3}}\end{array}$ egyenlőtlenség teljesül, aminek megoldása $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{3}\le \frac{F_1}{F_2}\le 3.}\end{array}$ A nagyobb erő tehát legfeljebb háromszorosa lehet a másik ($F$ nagyságú) erő nagyságának, és ha az irányuk ellentétes, az eredő erő nagysága ($2F$) valóban $F$ és $3F$ számtani közepe. Ugyancsak teljesül a megadott feltétel két egyforma ($F$) nagyságú, egymással ${120}^{\circ }$-os szöget bezáró erő $F$ nagyságú eredőjére is.