Feladat:	4718. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Asztalos Bogdán ,  Horváth Botond István
Füzet:	2015/november, 506 - 507. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Newton-féle gravitációs erő, Dimenzióanalízis
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/március: 4718. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Két tömegpont egymásra $\gamma \frac{m_1{m}_2}{{|\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">r</span></span>}|}^3}\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">r</span></span>}$ gravitációs erőt fejt ki. A feladatban szereplő kockáknak van kiterjedésük, és nincsenek olyan messze egymástól, hogy tömegpontként kezelve őket könnyen ki lehetne számolni a rájuk ható erőt. Ha az erő nagyságát nem is, de a két elrendezésben fellépő erők arányát egyszerű megfontolással meghatározhatjuk. Bontsuk fel a két kis kockát nagyon sok kicsiny, pontszerűnek tekinthető részre. Daraboljuk fel a két nagy kockát is ugyanennyi részre, mint a kicsiket olymódon, hogy az egyik felbontás a másik arányos (lineáris méreteiben háromszoros) nagyítása legyen. A kockák között ható gravitációs erő mindkét esetben a felbontás kis részei között ható erők vektori összege. Hasonlítsuk össze páronként a kis részek között ható erőket az $a$ és a $3a$ oldalélű kockákra. A nagyobb kocka felbontásánál keletkező kicsi részek tömege $3^3=27$-szer nagyobb, mint a kis kockák megfelelelő részeié. A részek közötti távolság viszont mindegyik párnál 3-szor nagyobb a $3a$ oldalélű kockáknál, mint a kisebb párjuknál, így végül az erők aránya ${27}^2/3^2=81$. Mivel ez az arány mindegyik erőpárra igaz, és a kis darabok között ható erők iránya megegyezik a két elrendezésnél, az eredő erőre is fennáll: a $3a$ oldalélű kockák 81-szer nagyobb gravitációs vonzóerőt fejtenek ki egymásra, mint a kisebb, $a$ oldaélű kockák.   II. megoldás. A feladatot a dimenzióanalízis módszerével is megoldhatjuk. A keresett $F$ erő nyilván függ a $\gamma$ gravitációs állandótól, a testek $\varrho$ sűrűségétől, valamint a $d$-vel jelölt méretüktől. (Esetünkben $d=a$, illetve $d=3a$.) A paraméterektől való függést kereshetjük hatványok szorzatának alakjában: $\begin{array}{c}{\displaystyle F\sim {\gamma }^x\cdot {\varrho }^y\cdot d^z\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $x$, $y$ és $z$ ismeretlen kitevők. A fenti függvénykapcsolatnak dimenziók szempontjából is helyesnek kell lennie: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{N}={\left(\frac{\text{N}{\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\right)}^x\cdot {\left(\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\right)}^y{\left(\text{m}\right)}^z\mathrm{.}}\end{array}$ A newton, a méter és a kilogramm független mértékegységek (jóllehet a newton nem SI-alapmértékegység), emiatt a hatványkitevőjük külön-külön ,,rendben kell legyen'', vagyis teljesülnie kell a következő egyenleteknek: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1=x\mathrm{,}0=2x-3y+z\mathrm{,}0=-2x+y\mathrm{.}}\end{array}$ Ezek megoldása: $x=1$; $y=2$ és $z=4$, vagyis a keresett függvénykapcsolat: $\begin{array}{c}{\displaystyle F\sim \gamma {\varrho }^2{d}^4\mathrm{.}}\end{array}$ Látható, hogy ha a $d$ méretet az eredeti érték 3-szorosára növeljük, a vonzóerő $3^4=81$-szer lesz nagyobb.