Feladat:	4714. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kaposvári Péter
Füzet:	2015/november, 504 - 505. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Mesterséges holdak, Newton-féle gravitációs erő
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/február: 4714. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $a)$ és $b)$ A mesterséges hold legnagyobb, illetve legkisebb távolsága a Föld tömegközéppontjától, vagyis az ellipszispálya $F$ fókuszpontjától: $\begin{array}{c}{\displaystyle d_{\text{min}}=a-\sqrt[]{a^2-b^2}\mathrm{,}{d}_{\text{max}}=a+\sqrt[]{a^2-b^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $m$ tömegű műhold összenergiája (a mozgási és a gravitációs energia összege) a mozgás során állandó: $\begin{array}{c}{\displaystyle E_{\text{összes}}=\frac{1}{2}m{v}_{\text{min}}^2-\gamma \frac{Mm}{d_{\text{max}}}=\frac{1}{2}m{v}_{\text{max}}^2-\gamma \frac{Mm}{d_{\text{min}}}\mathrm{.}}\end{array}$ (1) ($M$ a Föld tömegét jelöli.)     A mozgás során a mesterséges hold perdülete is állandó, így a Földhöz legközelebbi (perigeum) és a legtávolabbi (apogeum) pontban is ugyanakkora: $\begin{array}{c}{\displaystyle m{d}_{\text{max}}{v}_{\text{min}}=m{d}_{\text{min}}{v}_{\text{max}}\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Az (1) és (2) egyenletből a két sebesség meghatározható: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle v_{\text{max}}}& {\displaystyle =\sqrt[]{2\gamma M\frac{d_{\text{max}}}{\left(d_{\text{min}}+d_{\text{max}}\right)d_{\text{min}}}}=\sqrt[]{2\gamma M\frac{2a^2-b^2+2a\sqrt[]{a^2-b^2}}{2a{b}^2}}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle v_{\text{min}}}& {\displaystyle =\sqrt[]{2\gamma M\frac{d_{\text{min}}}{\left(d_{\text{min}}+d_{\text{max}}\right)d_{\text{max}}}}=\sqrt[]{2\gamma M\frac{2a^2-b^2-2a\sqrt[]{a^2-b^2}}{2a{b}^2}}\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ amelyek a szokásos $c=\overline{OF}=\sqrt[]{a^2-b^2}$ jelölés alkalmazásával így is felírhatóak: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_{\text{max}}=\sqrt[]{\frac{\gamma M}{a}\frac{a+c}{a-c}}\mathrm{,}{v}_{\text{min}}=\sqrt[]{\frac{\gamma M}{a}\frac{a-c}{a+c}}\mathrm{.}}\end{array}$ (3) $c)$ A műhold teljes energiája (3) és (1) felhasználásával kifejezhető az ismert adatokkal. Például a perigeumból számolva: $\begin{array}{c}{\displaystyle E_{\text{összes}}=\gamma \frac{Mm}{2a}\frac{a+c}{a-c}-\gamma \frac{Mm}{a-c}=-\gamma \frac{Mm}{2a}\mathrm{.}}\end{array}$ Ez az energia megegyezik a műhold tetszőleges, a Föld középpontjától $r$ távolságú ($d_{\text{min}}<r<d_{\text{max}}$), $v$ sebességű helyzetében számolható összenergiával: $\begin{array}{c}{\displaystyle E_{\text{összes}}=\frac{1}{2}m{v}^2-\gamma \frac{Mm}{r}=-\gamma \frac{Mm}{2a}\mathrm{,}\text{ahonnan}v\left(r\right)=\sqrt[]{\gamma M\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)}\mathrm{.}}\end{array}$