Feladat:	4705. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csurgai-Horváth Bálint ,  Gnädig Péter
Füzet:	2015/november, 502 - 503. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat, Mesterséges holdak
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/február: 4705. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A következő adatokat és állandókat ismerjük: ‐ az Űrállomás keringési ideje: $T=92\text{perc}=5520\text{s}$; ‐ a Föld (közepes) sugara: $R=6371\text{km}=6\mathrm{,}371\cdot {10}^6\text{m}$; ‐ a Föld tömege: $M=5\mathrm{,}974\cdot {10}^{24}\text{kg}$; ‐ a Newton-féle gravitációs állandó: $\gamma =6\mathrm{,}673\cdot {10}^{-11}\text{N}{\text{m}}^2/{\text{kg}}^2$. Ha az $m$ tömegű Űrállomás $h$ magasságban, tehát a Föld középpontjától valamekkora $r=R+h$ távolságban kering, akkor a rá ható gravitációs erő $\begin{array}{c}{\displaystyle F=\gamma \frac{mM}{r^2}\mathrm{,}}\end{array}$ a (centripetális) gyorsulása pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle a=r{\omega }^2=r{\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ A mozgásegyenlet szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle F=ma\mathrm{,}\text{azaz}\gamma \frac{mM}{r^2}=mr{\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Innen a keringési pálya sugara, majd annak ismeretében a felszíntől mért távolsága is kiszámítható: $\begin{array}{c}{\displaystyle r=\sqrt[3]{\frac{\gamma M{T}^2}{4{\pi }^2}}\approx 6751\text{km}\mathrm{,}h=r-R\approx 380\text{km}\mathrm{.}}\end{array}$ A keringési idő és a pálya körpályájának sugara közötti összefüggés: $\begin{array}{c}{\displaystyle T=2\pi \sqrt[]{\frac{r^3}{\gamma M}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ha ebben a képletben $r$ helyébe a fentebb kiszámítottnál 100 méterrel kisebb értéket írunk, a keringési időre $T\text{'}=5519\mathrm{,}88$ s, vagyis az eredeti értéknél 0,12 másodperccel kevesebb adódik. Ennyivel csökken tehát naponta az Űrállomás keringési ideje, ha nem hajt végre pályakorrekciót.   Megjegyzés. A keringési idő megváltozását két ‐ majdnem egyforma nagyságú ‐ időtartam különbségeként számítottuk ki. Ez nem túl szerencsés eljárás, hiszen ezeket az időtartamokat csak bizonyos pontossággal ismerjük, és általában a különbség (abszolút) hibája is a kisebbítendő és a kivonandó hibájának nagyságrendjébe esik, relatív hibája pedig (ha maga a különbség kicsi) igen naggyá válhat. A feladatban megadott 92 perces keringési idő nem azt jelenti, hogy $T=92\mathrm{,}000$ perc, hanem hogy $T$ értéke valahol 91,5 és 92,5 perc közé esik, vagyis 2 jegyre pontos, a harmadik számjegye bizonytalan. (Általános szabály, hogy egy fizikai mennyiség megadott értékét annyira tekintjük pontosnak, amennyire a ténylegesen kiírt számjegyek utalnak.) Emiatt a kiszámított pályasugár is csak ennyire (néhány százaléknyira) pontos, tehát a számszerű értékét csak kb. 60 km-es hiba erejéig ,,vehetjük komolyan''. Az első kérdésre adott válasz eszerint az, hogy $h\approx \left(380\pm 60\right)$km. Vegyük észre, hogy a százaléknyi pontossággal kiszámított $r$ és az ezreléknyi pontossággal megadható $R$ különbsége már több, mint 15%-ra bizonytalan. Hasonló módon, de még élesebben jelentkezik ez a probléma az időtartamok különbségénél. A százaléknyira pontos (vagy inkább pontatlan) $r$-ből, illetve annak 100 méterrel lecsökkenő értékéből kiszámított keringési időről csak annyit mondhatunk, hogy $T\text{'}=\left(5520\pm 50\right)$ s (a hibának csak a nagyságrendje lényeges, a számértéke nem). Ennek az időnek és az eredeti $T=5520$ s-nak a különbsége (a számolási pontosság erejéig) nulla! Mindezek ellenére a keringési idő fentebb kiszámított 0,1 másodperces változása helyes, ennek okát, javasoljuk, derítse ki az Olvasó. Ha egymáshoz közeli mennyiségek különbségét kell meghatároznunk, célszerű, ha a paraméterekkel (a fizikai mennyiségeket jelölő betűkkel) végezzük el a számolást, és a numerikus értékeket csak a végképletbe helyettesítjük be. Esetünkben például az $\begin{array}{c}{\displaystyle r^3=K\cdot T^2\left(K=\sqrt[3]{\gamma M/\left(4{\pi }^2\right)}=\text{állandó}\right)}\end{array}$ és az $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(r+\Delta r\right)}^3=K\cdot {\left(T+\Delta T\right)}^2}\end{array}$ egyenletek különbségét képezve (és a kis változások négyzetét és köbét elhanyagolva) a következő eredményt kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta T=\frac{3}{2}\frac{\Delta r}{r}T=\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{-0\mathrm{,}1\text{km}}{6751\text{km}}\right)\cdot 5520\text{s}\approx -0\mathrm{,}12\text{s}\mathrm{.}}\end{array}$ Látható, hogy a fenti eredmény kiszámításánál nem volt szükségünk $T$ és $T\text{'}$ nagyon pontos (nagyon sok tizedesjeggyel történő) megadására, illetve ilyen pontosságú kiszámítására.