Feladat: B.4579 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Baran Zsuzsanna ,  Di Giovanni Márk ,  Dinev Georgi ,  Fonyó Viktória ,  Katona Dániel ,  Kocsis Júlia ,  Kovács Balázs Marcell ,  Lajkó Kálmán ,  Leipold Péter ,  Leitereg Miklós ,  Maga Balázs ,  Nagy-György Pál ,  Nemes György ,  Simkó Irén ,  Vágó Ákos ,  Varga Péter ,  Vető Bálint ,  Viharos Lóránd Ottó ,  Williams Kada 
Füzet: 2014/december, 527 - 530. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Polinomok szorzattá alakítása, Algebrai átalakítások, Kör egyenlete
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2013/november: B.4579

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Tegyük fel, hogy a polinom szorzattá alakítható,
x(x+4)+a(y2-1)+2by=(Ax+By+C)(Dx+Ey+F),
ahol A, B, C, D, E és F valós számok. Mivel két polinom pontosan akkor egyezik meg, ha megfelelő együtthatóik megegyeznek, és az eredeti polinomban x2 együtthatója 1, azért AD=1. Az első lineáris tényezőt A-val, a másodikat pedig D-vel osztva szintén az eredeti polinom két elsőfokú polinom szorzatára való felbontását kapjuk, ezért elegendő az
x(x+4)+a(y2-1)+2by=(x+uy+v)(x+py+q)
alakú szorzatra bonthatóság feltételét megadnunk.
A megfelelő együtthatókat összehasonlítva a következő egyenleteket kapjuk:
y2:a=up,(1)xy:0=u+p,(2)x:4=v+q,(3)y:2b=uq+vp,(4)konstans:  -a=vq.(5)
Ha a=0, akkor (1) és (2) miatt u=p=0, s így (4)-ből adódik, hogy csak b=0 esetén lehetséges a szorzattá bontás (ebben az esetben viszont az eredeti polinom nem kétváltozós). Ha a0, akkor (1) miatt u0. A (2) egyenletből p=-u, amit (1)-be, illetve (4)-be írva kapjuk, hogy a=-u2 és 2b=u(q-v). Ez utóbbiból q-v=2b/u következik, s így (3)-at figyelembe véve q=2+b/u és v=2-b/u. Végül ezeket (5)-be beírva
-a=(2-bu)(2+bu)=4-b2u2=4-b2-a,
azaz a2=-4a-b2, vagyis (a+2)2+b2=4. Ez a (-2,0) középpontú, 2 sugarú k kör egyenlete. Tehát ha a polinom szorzattá bontható, akkor az (a;b) pont rajta van k-n.
Megfordítva, ha k egy tetszőleges (c;d) pontját vesszük, akkor c0 teljesül. Ha c=0, akkor d=0 is teljesül. A (0;0) párhoz a nyilvánvalóan szorzattá bomló x(x+4) polinom tartozik. Ha c0, akkor legyen
u=-c,p=--c,v=2-d-césq=2+d-c.


 
 

Egyszerű számolással adódik, hogy
(x+uy+v)(x+py+q)=x2+4x+cy2+2dy-c,
vagyis az eredeti polinom két elsőfokú polinom szorzatára bomlik.
Tehát a keresett mértani hely a (-2;0) középpontú, 2 sugarú kör.
 
II. megoldás. Koordinátageometriai módszerekkel kicsit kevesebb számolással is belátható az I. megoldásban megadott feltétel szükségessége. A következő gondolatmenettel viszont a feltétel elégségességét nem tudjuk belátni.
Alkalmazzuk az x=w-2, y=z+1 lineáris helyettesítést. Ekkor
P(x,y)=x(x+4)+a(y2-1)+2by=w2+az2+2(a+b)z+2b-4=Q(w,z).
Mivel lineáris helyettesítésnél elsőfokú polinomból elsőfokú polinomot kapunk, P(x,y) pontosan akkor bomlik két elsőfokú polinom szorzatára, amikor Q(w,z) felbomlik.
Tekintsük a Q(w,z)=0 egyenletnek eleget tevő pontokat a síkon. Ha
Q(w,z)=(Aw+Bz+C)(Dw+Ez+F),
akkor ezek a pontok az
Aw+Bz+C=0ésDw+Ez+F=0
egyenletű (esetleg egybeeső) egyeneseket alkotják. Mivel Q(w,z)-ben w2 együtthatója 1, ezért a felbontásban szereplő együtthatókra AD=1 teljesül, tehát az egyenesek egyike sem párhuzamos a w koordinátatengellyel.
Ha a=0 és b0, akkor
z=-12bw2-1+2b,
ami egy parabola egyenlete, tehát ebben az esetben nem bontható fel a polinom lineáris tényezőkre. Ha viszont a=b=0, akkor Q(w,z)=w2, ami nyilván felbontható például ww alakban. Ekkor a tényezőknek megfelelő két egyenes egybeesik.
Ha a0, akkor Q(w,z)-ben szerepel z2-es tag, ezért mindkét lineáris tényezőnek kell tartalmaznia cz típusú tagot ahol c0 egy valós szám. Ez azt jelenti, hogy a tényezőknek megfelelő egyenesek egyike sem párhuzamos az z koordinátatengellyel, azaz minden d valós szám esetén a z=d egyenletű egyenes metszi a Q(w,z)=0 egyenletű ponthalmazt. A Q(w,z)=0 egyenletet átrendezve kapjuk, hogy
w2=-az2-2(a+b)z-2b+4.
Mivel w20, ezért a bal oldalon lévő (a0 miatt) másodfokú polinom egyetlen z=d helyettesítésre sem vehet fel negatív értéket, mert az azt jelentené, hogy a z=d egyenletű egyenes nem metszené a Q(w,z)=0 egyenletű ponthalmazt. Másrészt viszont a w=0 egyenletű egyenes nem párhuzamos a ponthalmazt alkotó egyenesekkel, ezért metszi a ponthalmazt, vagyis a
-az2-2(a+b)z-2b+4=0(6)
egyenletnek van gyöke. E két feltétel pontosan akkor teljesül egyszerre, ha a (6) egyenlet diszkriminánsa 0. Tehát a0 esetén ha Q(w,z) lineáris tényezőkre bomlik, akkor
(-2(a+b))2-4(-a)(-2b+4)=0,azaz(a+2)2+b2=4.

 
Megjegyzés. A második megoldásból is megkapható a feltétel elégségessége, ehhez azonban a másodfokú egyenletekkel adott ponthalmazok az ún. másodrendű görbék alaposabb ismerete szükséges. Írjuk a P(x,y) polinomot mátrix alakba a következőképpen:
(x+4)+a(y2-1)+2by=(x,y,1)M(x,y,1)T,
ahol
M=(1020ab2b-a).
Ismert tétel, hogy a polinom akkor és csak akkor alakítható szorzattá a komplex számok körében, ha detM=0. A tényezőkben szereplő együtthatók akkor valósak, ha az is teljesül, hogy az M mátrix bal felső 2×2-es részmátrixának determinánsa nempozitív.