A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A síkrészek számát úgy határozzuk meg, hogy egymás után, egyesével helyezzük el az egyeneseket és minden lépésnél meghatározzuk, hogy mennyivel nő a részek száma. Ha mind az egyenes párhuzamos, akkor részre osztják a síkot, mert kezdetben 1 rész van és minden egyes új egyenes elhelyezésekor 1-gyel nő a síkrészek száma. Ha az egyenesek nem mind párhuzamosak, akkor van köztük kettő, amelyek metszik egymást. Feltehetjük, hogy először e két egyenest helyezzük el (az 1. ábrán és ), ezek a síkot 4 részre osztják. Minden további egyenest e két egyenes közül legalább az egyik metsz, azaz a további egyenesek mindegyikét az első két egyenes legalább két részre vágja (1. ábra). Ezek a darabok kettéosztanak egy-egy régi síkrészt. Így minden további egyenes elhelyezésekor legalább 2-vel nő a síkrészek száma, vagyis az egyenes legalább részre osztja a síkot. Tehát ha az egyenesek közt vannak nem párhuzamosak, akkor a részek száma nem lehet -nél kevesebb. Ezzel a feladat állítását beláttuk.
1. ábra
Megjegyzések. 1. Ha az egyenesek mind átmennek egy ponton, akkor a síkrészek száma éppen (2. ábra), tehát a feladatban szereplő felső becslés is éles.
2. ábra 2. A megoldásban szereplő gondolatmenettel (az egyenesek egymás utáni elhelyezésével) megmutatható, hogy egyenes legfeljebb részre osztja a síkot. A részek száma pontosan akkor ennyi, ha az egyenesek közül semelyik kettő nem párhuzamos és semelyik három nem megy át egy ponton.
|
|