Feladat:	B.4564	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fekete Panna
Füzet:	2014/december, 526 - 527. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Kombinatorikus geometria síkban, Esetvizsgálat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/október: B.4564

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A síkrészek számát úgy határozzuk meg, hogy egymás után, egyesével helyezzük el az egyeneseket és minden lépésnél meghatározzuk, hogy mennyivel nő a részek száma. Ha mind az $n$ egyenes párhuzamos, akkor $n+1$ részre osztják a síkot, mert kezdetben 1 rész van és minden egyes új egyenes elhelyezésekor 1-gyel nő a síkrészek száma. Ha az egyenesek nem mind párhuzamosak, akkor van köztük kettő, amelyek metszik egymást. Feltehetjük, hogy először e két egyenest helyezzük el (az 1. ábrán $e$ és $f$), ezek a síkot 4 részre osztják. Minden további egyenest e két egyenes közül legalább az egyik metsz, azaz a további egyenesek mindegyikét az első két egyenes legalább két részre vágja (1. ábra). Ezek a darabok kettéosztanak egy-egy régi síkrészt. Így minden további egyenes elhelyezésekor legalább 2-vel nő a síkrészek száma, vagyis az $n$ egyenes legalább $4+2\left(n-2\right)=2n$ részre osztja a síkot. Tehát ha az egyenesek közt vannak nem párhuzamosak, akkor a részek száma nem lehet $2n$-nél kevesebb. Ezzel a feladat állítását beláttuk.   1. ábra     Megjegyzések. 1. Ha az egyenesek mind átmennek egy ponton, akkor a síkrészek száma éppen $2n$ (2. ábra), tehát a feladatban szereplő felső becslés is éles.   2. ábra   2. A megoldásban szereplő gondolatmenettel (az egyenesek egymás utáni elhelyezésével) megmutatható, hogy $n$ egyenes legfeljebb $\left(n^2+n+2\right)/2$ részre osztja a síkot. A részek száma pontosan akkor ennyi, ha az egyenesek közül semelyik kettő nem párhuzamos és semelyik három nem megy át egy ponton.