Feladat:	B.4599	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kovács Márton
Füzet:	2014/október, 416. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Trigonometrikus egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/január: B.4599

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Mivel $\text{sin}x\le 1$, $\text{cos}x\le 1$ és $\text{sin}{}^{2}x+\text{cos}{}^{2}x=1$ teljesül bármilyen $x$ érték esetén, ezért: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}{}^{5}x+\text{cos}{}^{5}x+\text{sin}{}^{4}x=\text{sin}{}^{3}x\cdot \text{sin}{}^{2}x+\text{cos}{}^{3}x\cdot \text{cos}{}^{2}x+\text{sin}{}^{4}x\le }\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \le 1^3\cdot \text{sin}{}^{2}x+1^3\cdot \text{cos}{}^{2}x+1^4=1\cdot \left(\text{sin}{}^{2}x+\text{cos}{}^{2}x\right)+1=2.}\end{array}$ Azt kaptuk, hogy $\text{sin}{}^{5}x+\text{cos}{}^{5}x+\text{sin}{}^{4}x\le 2$, ahol egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha $\text{sin}x=1$, vagyis $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, ahol $k\in \text{Z}$.