Kezdőlap


Feladat:	B.4448	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ágoston Tamás , Bingler Arnold , Fehér Zsombor , Forrás Bence , Havasi Márton , Janzer Olivér , Medek Ákos , Mester Márton , Nagy Anna Noémi , Ódor Gergely , Strenner Péter , Szabó Attila , Szabó Barnabás
Füzet:	2014/október, 414. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Hozzáírt körök, Szinusztétel alkalmazása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/április: B.4448

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a kör középpontja $O$ . Mivel az $O A_{1} C B_{1}$ deltoidban $A_{1} O C ∢ = B_{1} O C ∢$ , $O A_{1} C ∢ = 90^{\circ}$ és $O F B_{1} ∢ = 90^{\circ}$ , az $O A_{1} C$ és $O F B_{1}$ háromszögek hasonlóak.

Legyen

Φ

egy olyan

O

középpontú forgatva nyújtás, amelyre

Φ (A_{1}) = C

. Ekkor a hasonlóság miatt

Φ (F) = B_{1}

. Legyen

Φ (C_{1}) = D

. Ekkor

O C_{1} D

háromszög is hasonló az előzőekhez és a

D

pont rajta van az

A B

egyenesen, mivel

O C_{1} D ∢ = 90^{\circ}

.
Az

O A_{1} C

és

O B_{1} C

háromszögek egybevágóak, és

O C_{1} = O B_{1}

, ezért az

O B_{1} C

és

O C_{1} D

háromszögek is egybevágóak. Ez alapján az

A O

egyenesre való tükrözés során, mivel

O

helyben marad,

B_{1}

képe

C_{1}

, és a két háromszög körüljárása különböző,

C

képe

D

lesz. Így

B_{1} C_{1} D C

egy olyan négyszög, melynek oldalain átmenő tükörtengelye van, így az húrtrapéz. Körülírt körében a

B_{1} C

húrhoz tartozó kerületi szögek egyenlők:

C D B_{1} ∢ = C C_{1} B_{1} ∢

. Mivel

Φ (A_{1} C_{1} F ∢) = C D B_{1} ∢

és a forgatva nyújtás szögtartó, így

A_{1} C_{1} F ∢ = B_{1} C_{1} C ∢