Feladat:	4658. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Csépai András
Füzet:	2015/szeptember, 346 - 347. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Atomreaktor
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/szeptember: 4658. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A hatványok átírásával $\begin{array}{c}{\displaystyle 2^{3\left(2x-1\right)}-1=7^{3\left(x-1\right)}+\frac{3}{14}\cdot 2^{2x}{7}^x\mathrm{.}}\end{array}$ Ebben a formában már látható, hogy érdemes az $a=2^{2x-1}$ és $b=7^{x-1}$ új ismeretlenek bevezetésével kezelhetőbb szerkezetűvé tenni egyenletünket. Az exponenciális kifejezések pozitívak, tehát $a\mathrm{,}b>0$. $\begin{array}{c}{\displaystyle a^3-b^3-1-3ab=0.}\end{array}$ A következő lépéshez felhasználjuk az ismert $\begin{array}{c}{\displaystyle u^3+v^3+w^3-3uvw=\left(u+v+w\right)\left(u^2+v^2+w^2-uv-vw-wu\right)}\end{array}$ algebrai azonosságot. (Az azonosság a jobb oldalon kijelölt szorzás elvégzésével és összevonással néhány lépésben igazolható.) Legyen az azonosságban $u=a\mathrm{,}v=-b$ és $w=-1$. Az eddigiek alapján az egyenlet bal oldala szorzattá alakítható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(a-b-1\right)\left(a^2+b^2+1+ab+a-b\right)=0.}\end{array}$ Szorzat csak abban az esetben lehet nulla, ha egyik tényezője nulla, így elegendő az $\begin{array}{c}{\displaystyle a-b-1=0\text{és}{a}^2+b^2+1+ab+a-b=0}\end{array}$ egyenleteket megoldani. Tekintsük előbb a második egyenletet. Ezt ‐ a szokásos módon ‐ kettővel szorozva, három teljes négyzet összegévé alakíthatjuk: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 2a^2+2b^2+2+2ab+2a-2b}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\left(a+b\right)}^2+{\left(a+1\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ Négyzetösszeg csak abban az esetben lehet nulla, ha mindegyik tag nulla. Ebben az esetben ez nem teljesülhet, mivel $a$ és $b$ is pozitívak, vagyis ${\left(a+b\right)}^2$ és ${\left(b+1\right)}^2$ is biztosan pozitív. Az egyenlet összes megoldásait tehát kizárólag az $\begin{array}{c}{\displaystyle a-b-1=0}\end{array}$ esetből kaphatjuk. A változók eredeti jelentése szerint pedig: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2^{2x-1}-7^{x-1}-1=0.}\end{array}$ Alakítsuk úgy az első tagot, hogy a kitevő ott is $\left(x-1\right)$ legyen: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\cdot 4^{x-1}-7^{x-1}-1=0.}\end{array}$ Az egyenletet rendezve és osztva a pozitív $4^{x-1}$-nel: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2-{\left(\frac{1}{4}\right)}^{x-1}={\left(\frac{7}{4}\right)}^{x-1}\mathrm{.}}\end{array}$ Vizsgáljuk meg a két oldalon található függvényeket konvexitás szerint. Mind a ${\left(\frac{7}{4}\right)}^{x-1}$, mind pedig az ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{x-1}$ kifejezésekkel meghatározott függvények szigorúan konvexek az egész értelmezési tartományukon, a valós számok halmazán. A $\left(-1\right)$-gyel történő szorzás szemléletesen az $x$-tengelyre vonatkozó tükrözést jelent, így az $f\left(x\right)=-{\left(\frac{1}{4}\right)}^{x-1}$, illetve a $2$-vel fölfelé eltolt $g\left(x\right)=2-{\left(\frac{1}{4}\right)}^{x-1}$ függvény már szigorúan konkáv. Ismert, hogy egy konvex és egy konkáv függvénynek legfeljebb két metszéspontja lehet. Ezek a metszéspontok az $x=1$ és $x=2$ helyettesítésekkel azonnal adódnak is. ($2-1=1$, illetve $2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$.) Átalakításaink ekvivalensek voltak, ezért $x=1$, $x=2$ valóban megoldásai az eredeti egyenletnek.