Feladat:	2010. évi Eötvös fizikaverseny 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2011/március, 171 - 172. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Eötvös Loránd (korábban Károly Irén), Párolgás, forrás, lecsapódás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/március: 2010. évi Eötvös fizikaverseny 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $a)$ A $\left(p_2\mathrm{,}{V}_2\right)$ állapotnál az izoterma törése ismerős: azt jelzi, hogy a gáz cseppfolyósodni kezd, ezért nem nő tovább a nyomása. De mi történt a $\left(p_1\mathrm{,}{V}_1\right)$ állapotban? Miért változott meg itt az izoterma meredeksége? Figyeljünk fel arra, hogy a tartályban kétféle gáz keveréke található. Elképzelhető, hogy ezek nem egyszerre kezdenek cseppfolyósodni, hanem itt, a $\left(p_1\mathrm{,}{V}_1\right)$ állapotban csak az egyik komponens kezd lecsapódni, a másik pedig még gáz halmazállapotú marad! Vagyis összenyomás közben $V_1$ és $V_2$ között az egyik komponens nyomása már nem változik, a másiké pedig tovább nő. Ez a második komponens akkor kezd lecsapódni, amikor a tartály térfogata már $V_2$-re csökkent. Ez a válasz az $a)$ kérdésre. Hogy melyik gáz kezd hamarabb cseppfolyósodni, arra még csak tippelhetünk. Tételezzük fel, hogy ez az oxigén. $b)$ Az $a)$ kérdésre adott válasz alapján ábrázoltuk a folyamatot a $\left(p\mathrm{,}V\right)$ diagramon (3. ábra).     3. ábra   A megadott adatokkal ($p_1=56\mathrm{,}3$ kPa és $V_1=15\text{d<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$) $\begin{array}{c}{\displaystyle p_2=\frac{11}{5}{p}_1=123\mathrm{,}9\text{kPa}\text{és}{V}_2=\frac{V_1}{3}=5\text{d<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>. }}\end{array}$ Az oxigén egyelőre ismeretlen $p_0$ telítési nyomását abból számíthatjuk ki, hogy a nitrogén még a $V_1\to V_2$ összenyomás közben is gáz maradt. Elhanyagolva a cseppfolyós oxigén térfogatát a tartályban, valamint a nitrogéngázt továbbra is ideális gáznak tekintve felírhatjuk rá a Boyle‐Mariotte-törvényt: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(p_1-p_0\right)V_1=\left(p_2-p_0\right)V_2\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből az oxigén telítési nyomása $p_0=\frac{2}{5}{p}_1=22\mathrm{,}5$ kPa. Ennek segítségével felírhatjuk a nitrogén és az oxigén mólokban mért tömegének arányát: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{n_{\text{nitrogén}}}{n_{\text{oxigén}}}=\frac{p_1-p_0}{p_0}=\frac{3}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Már csak egy összefüggés hiányzik a két mólszám között ahhoz, hogy kiszámíthassuk pontos értékeiket. Ez a keresett összefüggés abból adódik, hogy a két mólszám összege a mólokban mért teljes anyagmennyiség, amely kezdetben még (ideális) gáz volt, tehát érvényes rá az ideális gáz állapotegyenlete: $\begin{array}{c}{\displaystyle p_1{V}_1=n_{\text{összes}}RT\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből $n_{\text{összes}}$ $\left(=n_{\text{nitrogén}}+n_{\text{oxigén}}\right)=1\mathrm{,}313$ mól. Fentiek alapján, felhasználva a moláris tömegek értékét: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle n_{\text{nitrogén}}}& {\displaystyle =0\mathrm{,}788\text{mól}=22\mathrm{,}1\text{gramm}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle n_{\text{oxigén}}}& {\displaystyle =0\mathrm{,}525\text{mól}=16\mathrm{,}8\text{gramm}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Kizárólag a feladatban szereplő adatok segítségével nem lehet eldönteni, hogy az oxigén vagy a nitrogén kezd el hamarabb cseppfolyósodni. Szöget üthet a fejünkben, hogy miért éppen a $T=77\mathrm{,}4$ K-es izotermát kérdezi a feladat. Eszünkbe juthat (táblázatok alapján ellenőrizhetjük), hogy ez a hőmérséklet a folyékony nitrogén forráspontja normál légköri nyomáson ($\text{1 atm =1,013 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⋅</mo></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ Pa). Ez azt jelenti, hogy a nitrogén ezen a hőmérsékleten akkor kezd el cseppfolyósodni, ha a parciális nyomása eléri az 1 atmoszférát. A kezdőállapotban $p_1=56\mathrm{,}3$ kPa, vagyis ezen a nyomáson a nitrogén akkor sem kezdhetne el kondenzálódni, ha a gáz tiszta nitrogén lenne. Érvelésünket úgy is megerősíthetjük, ha kiszámítjuk a $p_2-p_0$ nyomás értéket, mert ennek a különbségnek éppen 1 atmoszférának kell lenni, hiszen ez a telített nitrogéngőz nyomása 77,4 K-en. Ha a számításokat kerekítések nélkül végezzük, akkor $p_2=123\mathrm{,}86$ kPa és $p_0=22\mathrm{,}52$ kPa, vagyis a különbség 101,34 kPa, ami nagy pontossággal 1 atmoszféra. Következtetésünket az is megerősíti, hogy a normál nyomású oxigén forráspontja (szintén táblázatokban megtalálható adat) 90,2 K, amiből az következik, hogy a telített oxigéngőz nyomása 77,4 K-en kisebb, mint a nitrogéné (1 atmoszféra), és valóban a megoldás részeredményeit felhasználva: $\begin{array}{c}{\displaystyle p_0=\frac{2}{5}{p}_1<p_2-p_0=\frac{9}{5}{p}_1\mathrm{.}}\end{array}$ A feladatban azért jelennek meg ezek az egyszerű törtek, mert véletlenül a telített nitrogén nyomása (1 atm) éppen négy és félszerese a telített oxigén nyomásának 77,4 K-en.   Kiegészítés (Honyek Gyula): Érdekességként említhetjük meg, hogy amennyiben észrevesszük, hogy a telített nitrogéngőz nyomása 77,4 K-en 1 atm, akkor a következő egyenleteket írhatjuk fel: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{11}{5}{p}_1-p_0=1\text{atm. és <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></math> - <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></math> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac></mrow></math> }\text{atm. }}\end{array}$ Ezeknek az egyenleteknek a megoldása: $\begin{array}{c}{\displaystyle p_0=\frac{2}{9}\text{atm.}=22\mathrm{,}5\text{kPa és <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></math> =<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>9</mn></mrow></mfrac></mrow></math> <span style="font-weight: normal;font-style: normal;">atm.</span>=56,3 }\text{kPa, }}\end{array}$ vagyis azok számára, akik kihasználták, hogy normál légköri nyomáson a nitrogén forráspontja 77,4 K, a megadott $p_1=56\mathrm{,}3$ kPa adat felesleges volt.