Feladat:	2010. évi Eötvös fizikaverseny 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2011/március, 169 - 170. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Kötelek (láncok) dinamikája, Eötvös Loránd (korábban Károly Irén)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/március: 2010. évi Eötvös fizikaverseny 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás (Vigh Máté): Tekintsük az álló láncot földi nehézségi erőtérben! Ebben az esetben a (minden pontban érintő irányú) feszítőerő a lánc mentén folyamatosan változik, éppen oly módon, hogy minden láncszem súlyát a szomszédai által kifejtett két erő eredője kiegyensúlyozza. Jelöljük ezt a feszítőerőt a lánc egy tetszőleges (mondjuk legfelső) pontjától mért $s$ ívhossz függvényében $F_1\left(s\right)$-sel! (Természetesen $F_1\left(0\right)=F_1\left(\ell \right)$, ahol $\ell$ a lánc teljes hossza.) Tekintsünk most egy ugyanilyen alakú láncot, amit a súlytalanság állapotában (mondjuk egy űrállomáson) megpörgetünk úgy, hogy minden láncszem azonos, érintő irányú $v$ sebességgel mozogjon! A lánc kis darabkájára felírva a dinamika alapegyenletét könnyen belátható, hogy ekkor a láncot feszítő $F_2\left(s\right)$ erő nagysága független a lánc adott pontbeli görbületi sugarától, sőt, még az ívhossztól is, és nagysága $F_2=\varrho v^2$, ahol $\varrho$ a lánc egységnyi hosszú darabjának tömege. Akármilyen alakú is tehát a lánc, ez a (térben és időben állandó) feszítőerő minden egyes láncszemre éppen a centripetális gyorsulásához szükséges (a lánc mentén a görbületi viszonyoktól függően helyről helyre változó) eredő erőt képes biztosítani. Végül tekintsük a feladatunkban szereplő, a földi nehézségi erőtérben mozgó, az eredetivel azonos alakú láncot! Ha a feszítőerő a lánc mentén $F_1\left(s\right)+F_2$ módon változik, akkor minden láncszemre teljesül a Newton-féle mozgásegyenlet, hiszen az $F_1\left(s\right)$-ből adódó eredő erő és a gravitációs erő összege nulla, az $F_2$-ből jövő járulék pedig a tömeg és a centripetális gyorsulás szorzatát adja. Ezzel beláttuk, hogy az eredeti láncgörbe lehet a mozgó lánc alakja is, tehát Marcinak van igaza. (Az érvelésből az is látszik, hogy egy kikerekedett láncalaknál nem teljesülhetnek a Newton-egyenletek az egyes láncszemekre, ezért a mozgó lánc nem lehet kör alakú.)   Megjegyzések: 1. A fenti érvelést szemléltethetjük a következő gondolatkísérlettel: A fogaskerék álló állapotában varázsütésre ,,kapcsoljuk ki'' a földi nehézségi erőteret! A lánc alakja ettől nem változik meg, csupán nem nyomja tovább a fogaskereket. Ahogy azt korábban beláttuk, ha ezután minden láncszemnek ugyanakkora, érintő irányú sebességet adunk, a lánc továbbra is megőrzi eredeti alakját. Végül kapcsoljuk vissza a földi gravitációt, amely (mint tudjuk) a megőrzött alakot már nem szeretné deformálni, tehát a mozgó lánc alakja a stacionárius helyzetben ugyanaz lesz, mint a kiindulási, nyugalmi állapotban. 2. Belátható, hogy ha láncszemek kiterjedését is figyelembe vesszük, arra az eredményre jutunk, hogy a fogaskerék egyre növekvő fordulatszáma esetén a lánc alakja fokozatosan eltér az eredeti alaktól, valóban elkezd kikerekedni. Életszerű adatokkal számolva azonban a lánc kikerekedéséhez szükséges fordulatszámra irreálisan nagy érték adódik, így valószínű, hogy a kerékpárlánc előbb szakad el, minthogy ez az effektus észrevehetővé válna. 3. Ahogy azt az egyik versenyző a dolgozatában leírta, a megoldáshoz felsőbb matematikai ismeretekkel és a klasszikus mechanika egyik alappillérének, a Hamilton-féle legkisebb hatás elvének a stacionárius mozgásokra való alkalmazásával is eljuthatunk. Kiemelendő azonban, hogy ilyen, a középiskolai ismereteken messze túlmenő számítások nélkül is el lehetett jutni a helyes megoldáshoz.