Feladat:	2012. évi Eötvös fizikaverseny 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2013/március, 168 - 169. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Eötvös Loránd (korábban Károly Irén), Merev test térbeli mozgása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/március: 2012. évi Eötvös fizikaverseny 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Ismert mennyiségek: $\alpha$ a korong dőlésszöge; $\Omega$ a korong szögsebessége; $R$ a labda sugara. Szükség lehet még a következőkre: $m$ a labda tömege; $\Theta =\frac{2}{5}m{R}^2$ a labda tehetetlenségi nyomatéka a középpontján átmenő tengelyre vonatkozólag; $S$ a labdára ható súrlódási erő; $N$ a labdára ható nyomóerő; $v_0$ a labda (tömeg)középpontjának kezdősebessége; ${\omega }_0$ a labda kezdeti szögsebessége. A labda tömegközéppontja egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, miközben a nyomóerő, a súrlódási erő és a nehézségi erő hat rá. Ezek eredője tehát zérus kell legyen. Ez csak úgy lehet, ha a nyomóerő nagysága $N=mg\text{cos}\alpha$ és a súrlódási erő nagysága $S=mg\text{sin}\alpha$. A súrlódási erőnek merőlegesnek kell lennie a sebességre, mert különben gyorsítaná vagy lassítaná azt. Ez pedig azt jelenti, hogy a labdának vízszintesen (felülről nézve balra) kell gurulnia, hiszen $\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">S</span></span>}$ a lejtő síkjában felfelé mutató vektor! A megoldás kulcsa, hogy a labda forgását két, egymásra merőleges tengely körüli forgás eredőjeként fogjuk fel. 1. A korong síkjával párhuzamos, lejtés irányú tengely körül a labda egyenletesen forog: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\omega }_1={\omega }_0=\frac{v_0}{R}\mathrm{.}}\end{array}$ 2. A korong síkjával párhuzamos, vízszintes tengely körül a labda gyorsulva forog: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\omega }_2=\frac{r\Omega }{R}\mathrm{,}\text{ahol}r=v_{0}t\mathrm{.}}\end{array}$ A szöggyorsulás, mivel ${\omega }_2\left(t\right)$ lineáris függvénye az időnek: $\begin{array}{c}{\displaystyle \beta =\frac{{\omega }_2}{t}=\frac{v_0\Omega }{R}\mathrm{.}}\end{array}$ Erre a forgásra a dinamika alaptörvénye: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \sum M}& {\displaystyle =\Theta \beta \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle SR}& {\displaystyle =\frac{2}{5}m{R}^2\frac{v_0\Omega }{R}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle Rmg\text{sin}\alpha }& {\displaystyle =\frac{2}{5}m{R}^2\frac{v_0\Omega }{R}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ebből kifejezhető $v_0$ és ${\omega }_0$ is: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle v_0}& {\displaystyle =\frac{5}{2}\frac{g\text{sin}\alpha }{\Omega }\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\omega }_0}& {\displaystyle =\frac{v_0}{R}=\frac{5}{2}\frac{g\text{sin}\alpha }{\Omega R}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Megkaptuk a szükséges kezdőfeltételeket. Érdekes, hogy sem $v_0$, sem ${\omega }_0$ nem függ a labda $m$ tömegétől, $v_0$ pedig még a labda $R$ sugarától sem!   Megjegyzések. 1. Az a gondolat, hogy egy labda forgása két forgás eredőjeként fogható fel, már szerepelt egyszer az Eötvös-versenyen. 1972-ben ez volt a 3. feladat: ,,Felfújt, könnyű műanyag labdát találomra megpörgetve sima vízfelületre ejtünk. Azt tapasztaljuk, hogy mielőtt megáll, rendszerint függőleges tengely körül forog. Mi a jelenség magyarázata?'' A megoldás az, hogy a labda bármely tengely körüli forgása egy függőleges és egy vízszintes tengely körüli forgás eredőjeként tárgyalható. A vízszintes tengely körüli forgást a súrlódás sokkal jobban fékezi, ezért marad meg végül mindig a függőleges tengely körüli forgás. 2. Az eredményhirdetéskor Vigh Máté levetítette azt a videót, amely több variációban mutatta be a feladatban leírt jelenséget. A bemutatást a közönség élénk figyelemmel kísérte.