Feladat:	2014. évi Eötvös fizikaverseny 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2014/december, 553 - 555. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Eötvös Loránd (korábban Károly Irén), Kötelek (láncok) egyensúlya
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/december: 2014. évi Eötvös fizikaverseny 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $a)$ A guriga tömegközéppontja nem esik az alátámasztási pont fölé, az így fellépő forgatónyomaték görgeti ki a szőnyeget. $b)$ A guriga egyensúlyát biztosító vízszintes $F$ erőt a virtuális munka elvéből határozhatjuk meg. Ha a nem teljesen felgöngyölt gurigát kicsiny $\Delta x$ távolsággal feljebb görgetjük, az $F\left(x\right)$ erő által végzett munka a szőnyeg helyzeti energiájának (kicsiny) megváltozását biztosítja: $\begin{array}{c}{\displaystyle F\left(x\right)\Delta x=\Delta E_{\text{h}}\mathrm{.}}\end{array}$ A szőnyeg helyzeti energiája $\begin{array}{c}{\displaystyle E_{\text{h}}\left(x\right)=m\left(x\right)gr\left(x\right)\mathrm{,}}\end{array}$ amely a feltekeredés közben két okból is növekszik: egyrészt magasabbra kerül a tömegközéppontja, másrészt feltekerés közben a szőnyeg ,,hízik'' is. (A földön fekvő rész helyzeti energiája 0, azzal nem kell számolnunk.)   2. ábra   A helyzeti energia kicsiny megváltozása eszerint $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta E_{\text{h}}=mg\cdot \Delta r+\Delta m\cdot gr\mathrm{.}}\end{array}$ A szőnyeg $x$ hosszúságú darabjának feltekerésekor kialakuló szőnyegguriga $m$ tömege egyenesen arányos a felgöngyölt rész hosszával, így $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta m=\frac{m}{x}\Delta x\text{és}m=\frac{M}{L}x\mathrm{,}}\end{array}$ hiszen $x=L$ esetén a tömeg éppen $M$. A guriga keresztmetszetének területe is arányos $x$-szel, vagyis a guriga sugarára fennáll: $\begin{array}{c}{\displaystyle r^2=\frac{R^2}{L}x\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből kifejezhetjük $\Delta r$-t is $\Delta x$ segítségével (felhasználva, hogy $\Delta r$ kicsi): ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{R^2}{L}\Delta x}& {\displaystyle ={\left(r+\Delta r\right)}^2-r^2\approx 2r\Delta r\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \Delta r}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\frac{r}{x}\Delta x\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Mindezt behelyettesítve $\Delta E_{\text{h}}$ kifejezésébe: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta E_{\text{h}}=\frac{3}{2}\frac{mgr}{x}\Delta x\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből pedig az $x$ darabon feltekert guriga megtartásához szükséges erő: $\begin{array}{c}{\displaystyle F\left(x\right)=\frac{3}{2}\frac{mgr}{x}=\frac{3}{2}\frac{MgR}{L}\sqrt[]{\frac{x}{L}}\mathrm{,}}\end{array}$ amelyből a keresett $F$ erő $x=L$ helyettesítéssel $\begin{array}{c}{\displaystyle F=\frac{3}{2}\frac{R}{L}Mg\mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzések. 1. Néhány versenyző próbálkozott a virtuális munka elvével, de a helyzeti energia megváltozásában elfelejtkeztek az egyik tagról. A fenti megoldásban az erőt a feladat kérdésénél kicsit általánosabban, $x$ függvényében egy tetszőleges helyzetben is megadtuk, ez lehetőséget ad a megoldás ellenőrzésére. Az erő elmozdulás szerinti integrálásával meghatározzuk a feltekeréshez szükséges teljes munkát: $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}F\left(x\right)\text{d}x=\underset{0}{\overset{L}{\int }}\frac{3}{2}\frac{MgR}{L}\sqrt[]{\frac{x}{L}}\text{d}x=MgR\mathrm{,}}\end{array}$ ez valóban megegyezik a teljesen feltekert szőnyeg helyzeti energiájával. 2. A versenyzők többsége statikai megoldással próbálkozott. A feladat így is megoldható, azonban még könnyebb tévedni. A statikai megoldásban a forgatónyomatékok egyensúlyát írjuk fel a szőnyeg alátámasztási pontjára: $\begin{array}{c}{\displaystyle FR=Mg{x}_{\text{tkp}}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $x_{\text{tkp}}$ a guriga tömegközéppontjának távolsága az alátámasztáson át húzott függőleges egyenestől. A feladat ennek meghatározása. A tömegközéppont két okból sem esik az alátámasztási pont fölé: egyrészt a guriga spirális alakja miatt a guriga érintője nem merőleges a spirál középpontjából az érintési ponthoz húzott sugárra, másrészt a guriga tömegközéppontja nem a spirál középpontjába esik. (Mindkét okra rájöttek versenyzők, de senki se gondolt mindkettőre, így helyes megoldás nem született.) A guriga ,,ferdesége'', és így a spirál középpontjának helye könnyen meghatározható a menetemelkedésből. A tömegközéppont ebből származó elmozdulása $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1=\frac{1}{2}\frac{R^2}{L}\mathrm{.}}\end{array}$ A guriga tömegközéppontjának a spirál középpontjához viszonyított helyét sokféleképp meg lehet határozni, erre sok helyes megoldás érkezett az integrálástól az ügyes trükkökig. Egy lehetőség például az, hogy a gurigát gondolatban kiegészítjük egy további fél menettel, melynek tömegét és tömegközéppontjának helyét is ismerjük: ekkor a szimmetria (és a szőnyeg kis vastagsága) miatt a tömegközéppont ugyanolyan távolra kerül a spirál középpontjától, csak éppen a másik irányba ‐ és ebből a keresett távolság már könnyen kiszámolható: $\begin{array}{c}{\displaystyle x_2=\frac{R^2}{L}\mathrm{.}}\end{array}$ A két részeredményt összeadva $\begin{array}{c}{\displaystyle x_{\text{tkp}}=x_1+x_2=\frac{3}{2}\frac{R^2}{L}\mathrm{,}}\end{array}$ amiből a keresett erőre valóban helyes eredményt kapunk. 3. Néhány versenyző a szőnyeg rugalmas tulajdonságaival próbálta magyarázni a jelenséget. A feladat szövegében viszont az áll, hogy a szőnyeg hajlékony, ami arra utal, hogy ezt a hatást nem kell figyelembe venni. (Nem is voltak megadva olyan adatok, amikre ez esetben szükség lenne.)