Kezdőlap


Feladat:	2013. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2013/november, 493 - 496. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Egyéb elektrodinamika
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/október: 2013. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

2. feladat. Plazmonos gőzfejlesztő készülék

2.1.

Az ezüst nanogolyócska térfogata:

V = \frac{4 π}{3} R^{3} = 4, 19 \cdot 10^{- 24} m^{3}

, tömege:

M = ϱ_{Ag} V = 4, 39 \cdot 10^{- 20} kg

; a nanogolyócskában található ezüstionok száma:

N = N_{A} \frac{M}{M_{Ag}} = 2, 45 \cdot 10^{5}

; töltéssűrűsége:

ϱ = e N / V = 9, 38 \cdot 10^{9} {Cm}^{- 3}

; a szabad elektronok koncentrációja:

n = N / V = 5, 85 \cdot 10^{28} m^{- 3}

, összes töltése:

Q = - e N = - 3, 93 \cdot 10^{- 14} C

; a töltéshordozók összes tömege:

m_{0} = m_{e} N = 2, 23 \cdot 10^{- 25} kg

.
2.2. Egy

R

sugarú, homogén töltéseloszlású, pozitív

ϱ

töltéssűrűségű gömb középpontjától

| r | < R

távolságban lévő pontban az elektromos térerősség nagysága a Gauss-törvényből kapható meg:

\begin{matrix} E_{+} (r) 4 π r^{2} = \frac{4 π}{3} r^{3} \frac{ϱ}{ε_{0}}, \end{matrix}

a térerősség irányát is figyelembe véve:

\begin{matrix} E_{+} = \frac{ϱ}{3 ε_{0}} r . \end{matrix}

Hasonlóan számolható az

R_{1}

sugarú,

- ϱ

töltéssűrűségű gömb tere a gömbön belül, annak középpontjától

| r' | = | r - x_{d} |

távolságban:

E_{-} = - \frac{ϱ}{3 ε_{0}} (r - x_{d})

. Az

R_{1}

sugarú gömbön belül az eredő elektromos térerősség tehát:

\begin{matrix} E = E_{+} + E_{-} = \frac{ϱ}{3 ε_{0}} x_{d}, \end{matrix}

a keresett együttható értéke tehát

A = 1 / 3

.
2.3. Az előző részfeladat eredménye szerint az elektromos tér a töltéssemleges tartományban

E = (ϱ / (3 ε_{0})) x_{d}

értékű, így az ebben a térrészben elhelyezkedő, közelítőleg

Q

össztöltésű elektronfelhőre ható erő:

\begin{matrix} F = Q E = - e N \frac{ϱ}{3 ε_{0}} x_{d} = - \frac{4 π}{9 ε_{0}} R^{3} e^{2} n^{2} x_{d} . \end{matrix}

Az elektronfelhő elmozdítása során ennek az erőnek a

(- 1)

-szeresét kell kifejtenünk. Mivel a szükséges erő nagysága az elmozdulással egyenesen arányos, ezért számolhatunk úgy, mintha végig a maximális erő felével történt volna a munkavégzés:

\begin{matrix} W_{el} = \frac{1}{2} | F_{max} | x_{d} = \frac{2 π}{9 ε_{0}} R^{3} e^{2} n^{2} x_{d}^{2} . \end{matrix}

2.4. Az ezüstgolyócska belsejében az eredő elektromos térnek zérusnak kell lennie, így az elmozdított töltések által a töltéssemleges térrészben keltett térerősség

- E_{0} = E_{0} e_{x}

. A 2.2. rész eredményét felhasználva kifejezhető az elektronfelhő

x_{p}

elmozdulása:

\begin{matrix} x_{p} = \frac{3 ε_{0}}{ϱ} E_{0} = \frac{3 ε_{0}}{e n} E_{0} . \end{matrix}

A kicsiny

x_{p}

elmozdulás közben a golyócska közepén átmenő

(y, z)

síkon közelítőleg egy

π R^{2} x_{p}

térfogatú hengerben található elektronok haladnak át. Ezek (negatív) össztöltése:

- Δ Q = - π R^{2} x_{p} ϱ = - π R^{2} e n x_{p}

2.5a. Feleltessük meg a töltések széthúzásakor végzett

W_{el}

munkát a kondenzátor energiájának, a szétválasztott

Δ Q

töltést pedig a kondenzátor töltésének! A

W_{el} = Δ Q^{2} / (2 C)

összefüggést használva a nanogolyócskát helyettesítő kondenzátor kapacitása:

\begin{matrix} C = \frac{Δ Q^{2}}{2 W_{el}} = \frac{9 π}{4} ε_{0} R = 6, 26 \cdot 10^{- 19} F . \end{matrix}

2.5b. A kondenzátorra vonatkozó

V_{0} = Δ Q / C

összefüggést és az eddigi eredményeket felhasználva:

\begin{matrix} V_{0} = \frac{Δ Q}{C} = \frac{π R^{2} e n x_{p}}{\frac{9 π}{4} ε_{0} R} = \frac{4}{3} R (\frac{e n x_{p}}{3 ε_{0}}) = \frac{4}{3} R E_{0} . \end{matrix}

2.6a. Az elektronfelhőben található

N

darab elektron összes mozgási energiája:

\begin{matrix} W_{kin} = \frac{1}{2} m_{e} v^{2} N = \frac{2 π}{3} R^{3} n m_{e} v^{2} . \end{matrix}

I

áramerősség nagysága megkapható, ha elosztjuk a

π R^{2}

alapterületű,

v Δ t

magasságú hengerben található elektronok össztöltését a

Δ t

időtartammal:

\begin{matrix} I = π R^{2} e n v . \end{matrix}

2.6b. A mozgó elektronok

W_{kin}

kinetikus energiája megfeleltethető egy

L

induktivitású,

I

árammal átjárt vezető

L I^{2} / 2

energiájával, ebből:

\begin{matrix} L = \frac{2 W_{kin}}{I^{2}} = \frac{4 m_{e}}{3 π R n e^{2}} = 2, 57 \cdot 10^{- 14} H . \end{matrix}

2.7a. A helyettesítő áramkör

C

kapacitásából és

L

induktivitásából a rezonanciafrekvencia kiszámítható:

\begin{matrix} ω_{p} = \frac{1}{\sqrt[]{L C}} = \sqrt[]{\frac{n e^{2}}{3 m_{e} ε_{0}}} . \end{matrix}

2.7b. Behelyettesítve

ω_{p} = 7, 88 \cdot 10^{15} rad/s

adódik, a hullámhosszra pedig

λ_{p} = 2 π c / ω_{p} = 239 nm

-t kapunk.

2.8a. Egyetlen elektron időátlagolt kinetikus energiája

\frac{1}{2} m_{e} 〈 v^{2} 〉

. Mivel az ütközések egy-egy elektronnál

τ

időnként történnek, és összesen

N

darab elektronunk van, az energiadisszipáció teljesítménye:

\begin{matrix} P_{hő} = \frac{1}{2 τ} N m_{e} 〈 v^{2} 〉 = \frac{2 π}{3 τ} R^{3} n m_{e} 〈 v^{2} 〉 . \end{matrix}

Az áramerősség négyzetének időátlagát a 2.6a. részben kapott eredményből származtathatjuk:

\begin{matrix} 〈 I^{2} 〉 = {(π R^{2} e n)}^{2} 〈 v^{2} 〉 . \end{matrix}

2.8b. A Joule-hőre vonatkozó

P_{hő} = R_{hő} 〈 I^{2} 〉

összefüggést használva:

\begin{matrix} R_{hő} = \frac{2 m_{e}}{3 π n e^{2} R τ} = 2, 46 Ω . \end{matrix}

2.9. Az előző részhez hasonlóan induljunk ki a

P_{szórt} = R_{szórt} 〈 I^{2} 〉

összefüggésből!

\begin{matrix} R_{szórt} = \frac{P_{szórt}}{〈 I^{2} 〉} = \frac{Q^{2} x_{0}^{2} ω_{p}^{4}}{12 π ε_{0} c^{3} {(π R^{2} e n)}^{2} 〈 v^{2} 〉} . \end{matrix}

Használjuk fel, hogy

v (t) = - x_{0} ω_{p} sin (ω_{p} t)

, így

〈 v^{2} 〉 = x_{0}^{2} ω_{p}^{2} / 2

, valamint, hogy

Q = (4 π / 3) R^{3} e n

. Behelyettesítve, egyszerűsítés után kapjuk:

\begin{matrix} R_{szórt} = \frac{8}{27} \frac{R^{2} ω_{p}^{2}}{π ε_{0} c^{3}} = 2, 45 Ω . \end{matrix}

2.10a. A nanogolyócskát gerjesztő fény frekvenciája éppen megegyezik a rezgő elektronfelhő rezonanciafrekvenciájával, ezért a helyettesítő áramkör eredő impedanciája tisztán ohmikus,

R_{hő} + R_{szórt}

értékű. A helyettesítő feszültségforrás feszültségének amplitúdója 2.5b. alapján

V_{0} = 4 R E_{0} / 3

, effektív értéke pedig a szinuszos változás miatt

V_{0} / \sqrt[]{2}

. A két fogyasztó között az ellenállások arányában oszlik meg a feszültség, így az időátlagolt teljesítmények a következőképp számolhatók:

\begin{matrix} P_{hő} & = & \frac{(\frac{R_{hő}}{R_{hő} + R_{szórt}} \frac{V_{0}}{\sqrt[]{2}})^{2}}{R_{hő}} = \frac{8 R_{hő} R^{2}}{9 {(R_{hő} + R_{szórt})}^{2}} E_{0}^{2}, \\ P_{szórt} & = & \frac{R_{szórt}}{R_{hő}} P_{hő} = \frac{8 R_{szórt} R^{2}}{9 {(R_{hő} + R_{szórt})}^{2}} E_{0}^{2} . \end{matrix}

A beeső fény amplitúdóját a Poynting-vektor nagyságából kaphatjuk meg:

\begin{matrix} E_{0} = \sqrt[]{\frac{2 S}{ε_{0} c}} . \end{matrix}

2.10b. A megadott adatokat a 2.10a. részben kapott kifejezésekbe helyettesítve a

P_{hő} = 6, 82 nW

P_{szórt} = 6, 81 nW

és

E_{0} = 27, 4 kV/m

eredményeket kapjuk.
2.11a. A tartályban lévő nanogolyócskák száma

N_{ng} = a h^{2} n_{ng} = 7, 3 \cdot 10^{11}

, a teljes fejlődő Joule-hő tehát

P_{gőz} = N_{ng} P_{hő} = 4, 98 kW

. Ez a teljesítmény a víz felmelegítésére, elforralására és a gőz felmelegítésére fordítódik:

\begin{matrix} P_{gőz} = m_{gőz} (c_{víz} (T_{100} - T_{hő}) + L_{víz} + c_{gőz} (T_{gőz} - T_{100})), \end{matrix}

ebből az időegység alatt képződő vízgőz tömege:

\begin{matrix} m_{gőz} = \frac{P_{gőz}}{c_{víz} (T_{100} - T_{hő}) + L_{víz} + c_{gőz} (T_{gőz} - T_{100})} = 1, 90 \cdot 10^{- 3} kg/s. \end{matrix}

2.11b. A beeső fény teljes teljesítménye

h^{2} S = 10, 0 kW

, ebből csak a gőzképződésre fordítódó

P_{gőz} = 4, 98 kW

a hasznos teljesítmény, így a gőzfejlesztő készülék hatásfoka

η = 4, 98 kW / 10, 0 kW = 0, 498