Feladat:	B.4606	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Németh Balázs
Füzet:	2014/szeptember, 349 - 350. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Exponenciális egyenletek, Exponenciális függvények, Számtani-mértani egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/február: B.4606

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Behelyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy az $x=1$ megoldása az egyenletnek. A továbbiakban azt fogjuk belátni, hogy az összes többi pozitív valós számra $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x\cdot {2014}^{{}^{\frac{1}{x}}}+\frac{1}{x}\cdot {2014}^x}{2}>2014.}\end{array}$ Írjuk fel a pozitív $a=x\cdot {2014}^{{}^{\frac{1}{x}}}$, $b=\frac{1}{x}\cdot {2014}^x$ számokra a számtani és a mértani közép közti egyenlőtlenséget: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a+b}{2}\ge \sqrt[]{ab}\mathrm{.}}\end{array}$ A bal oldal éppen az eredeti egyenlet bal oldala. A jobb oldal pedig a következőképpen alakítható: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \sqrt[]{ab}}& {\displaystyle =\sqrt[]{x\cdot {2014}^{{}^{\frac{1}{x}}}\cdot \frac{1}{x}\cdot {2014}^x}=\sqrt[]{{2014}^{{}^{\frac{1}{x}}}\cdot {2014}^x}=\sqrt[]{{2014}^{{}^{\frac{1}{x}+x}}}=\sqrt[]{{2014}^{{}^{\frac{x^2+1}{x}}}}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle ={2014}^{{}^{\frac{x^2+1}{2x}}}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A továbbiakban belátjuk, hogy minden $x\ne 1$ pozitív számra $\begin{array}{c}{\displaystyle {2014}^{{}^{\frac{x^2+1}{2x}}}>2014.}\end{array}$ Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt ez éppen ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{x^2+1}{2x}}& {\displaystyle >\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{x^2+1}{2x}-1}& {\displaystyle >\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{2x}}& {\displaystyle >\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^2}{2x}}& {\displaystyle >\mathrm{0,}}\hfill \end{array}}$ ami nyilván igaz. Tehát az egyenletnek egyetlen pozitív megoldása van, az 1.