Feladat:	B.4597	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bősze Zsófia
Füzet:	2014/szeptember, 348 - 349. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Heron-képlet, Hozzáírt körök, Síkgeometriai számítások trigonometriával
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/január: B.4597

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Először megmutatjuk, hogy a háromszög derékszögű. Legyenek a háromszög oldalai $a$, $b$ és $c$, kerülete $2s$, területe pedig $T$. Ekkor a körök sugaraira vonatkozó ismert képletek szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle r_a=\frac{T}{s-a}\mathrm{,}{r}_b=\frac{T}{s-b}\mathrm{,}{r}_c=\frac{T}{s-c}\text{és}R=\frac{abc}{4T}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezeket behelyettesítve az $r_b+r_c=2R$ feltételbe, átrendezve, majd alkalmazva Héron képletét, mely szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle T^2=s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\mathrm{,}}\end{array}$ végül pedig felhasználva az $\left(s-c\right)+\left(s-b\right)=a$ összefüggést, kapjuk, hogy ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{T}{s-b}+\frac{T}{s-c}=\frac{abc}{2T}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{4T^2}{s-b}+\frac{4T^2}{s-c}=2abc\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 4s\left(s-a\right)\left(\left(s-c\right)+\left(s-b\right)\right)=2abc\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 4s\left(s-a\right)=2bc\mathrm{,}\text{azaz}2s\left(2s-2a\right)-2bc=0.}\hfill \end{array}}$ Itt $2s-2a=b+c-a$, ezért ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle =2s\left(2s-2a\right)-2bc=\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)-2bc=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left(b+c\right)}^2-a^2-2bc=b^2+c^2-a^2\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ vagyis Pitagorasz tételének megfordítása szerint a háromszög $a$ oldalával szemközti szöge derékszög. Az $r_a+r_b=3R$ feltételből kiindulva ugyanezeket az átalakításokat végrehajtva kapjuk, hogy ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{T}{s-a}+\frac{T}{s-b}=\frac{3abc}{4T}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{4T^2}{s-a}+\frac{4T^2}{s-b}=3abc\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 4s\left(s-c\right)\left(\left(s-b\right)+\left(s-a\right)\right)=3abc\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 4s\left(s-c\right)=3ab\mathrm{,}\text{azaz}{a}^2+b^2-c^2-ab=0.}\hfill \end{array}}$ Mivel $a^2=b^2+c^2$, az utolsó egyenlőséget átalakítva kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 2b^2-ab=\mathrm{0,}\text{azaz}b\left(2b-a\right)=\mathrm{0,}}\end{array}$ amiből $b>0$ miatt következik, hogy $b=a/2$. Így a háromszög $b$ befogójával szemközti hegyesszögének szinusza $1/2$, vagyis ez a szög ${30}^{\circ }$. Tehát a háromszög szögei ${30}^{\circ }$, ${60}^{\circ }$ és ${90}^{\circ }$. Egyszerű számolással ellenőrizhető, hogy az ilyen szögekkel rendelkező háromszögek oldalaira $a=2b$ és $c=\sqrt[]{3}b$ teljesül, a körök sugarai pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle r_a=\frac{\left(3+\sqrt[]{3}\right)b}{2}\mathrm{,}{r}_b=\frac{\left(3-\sqrt[]{3}\right)b}{2}\mathrm{,}{r}_c=\frac{\left(1+\sqrt[]{3}\right)b}{2}\text{és}R=b\mathrm{,}}\end{array}$ amik kielégítik a feladat feltételeit.