Feladat:	B.4577	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Schrettner Bálint
Füzet:	2014/szeptember, 343 - 344. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Irracionális egyenletek, Konstruktív megoldási módszer, Algebrai átalakítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/november: B.4577

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyen $\sqrt[5]{39-x}=a\Rightarrow 39-x=a^5$, $\sqrt[5]{x-6}=b\Rightarrow x-6=b^5$. Ekkor az eredeti egyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a^{5}b-a{b}^5}{a-b}=30.}\end{array}$ Ugyanakkor az is teljesül, hogy $a^5+b^5=33$. Az $a-b\ne 0$, mert a nevezőben nem állhat nulla. Az egyenlet bal oldala egyszerűsíthető is $\left(a-b\right)$-vel: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a^{5}b-a{b}^5}{a-b}=\frac{ab\left(a^4-b^4\right)}{a-b}=\frac{ab\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}{a-b}=ab\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=30.}\end{array}$ Ezt osztva a feltételből kapott $a^5+b^5=33$ egyenlettel (egyik tényező sem lehet nulla, hiszen az egyenletek jobb oldalán nullától különböző szám áll) kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{ab\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}{\left(a+b\right)\left(a^4-a^{3}b+a^2{b}^2-a{b}^3+b^4\right)}=\frac{30}{33}=\frac{10}{11}\mathrm{.}}\end{array}$ Egyszerűsítés, beszorzás és rendezés után olyan homogén negyedfokú egyenletet kapunk, amelyben az együtthatók szimmetrikusan helyezkednek el. $\begin{array}{c}{\displaystyle 10a^4-21a^{3}b+10a^2{b}^2-21a{b}^3+10b^4=0.}\end{array}$ Mivel $b$ nem nulla, az egyenletet eloszthatjuk $b^4$-nel. Ezután pedig bevezetünk $\frac{a}{b}$ helyett egy új $k$ ismeretlent: $\begin{array}{c}{\displaystyle 10k^4-21k^3+10k^2-21k+10=0.}\end{array}$ Ez egy ún. reciprokegyenlet, amely minden esetben visszavezethető másodfokú egyenletre. Mivel $k=0$ nem megoldása az egyenletnek, oszthatunk $k^2$-tel és a tagokat át is csoportosítjuk. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 10k^2+\frac{10}{k^2}-21k-\frac{21}{k}+10}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 10\left(k^2+\frac{1}{k^2}\right)-21\left(k+\frac{1}{k}\right)+10}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 10{\left(k+\frac{1}{k}\right)}^2-21\left(k+\frac{1}{k}\right)-10}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ Most $u=k+\frac{1}{k}$ helyettesítéssel már másodfokú egyenlethez jutunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle 10u^2-21u-10=0.}\end{array}$ Az egyenlet megoldásai $u=\frac{5}{2}$ és $u=-\frac{2}{5}$. Ez utóbbi nem ad valós megoldást, mert $k+\frac{1}{k}$ valós számok esetében abszolút értékben legalább $2$. Az elsőből $\begin{array}{c}{\displaystyle k+\frac{1}{k}=\frac{5}{2}\mathrm{,}\text{azaz}k=\mathrm{2,}k=\frac{1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Innen már adódnak az eredeti egyenlet megoldásai: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{\sqrt[5]{39-x}}{\sqrt[5]{x-6}}=2}& {\displaystyle \Rightarrow \frac{39-x}{x-6}=32\Rightarrow x=\mathrm{7,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{\sqrt[5]{39-x}}{\sqrt[5]{x-6}}=\frac{1}{2}}& {\displaystyle \Rightarrow \frac{39-x}{x-6}=\frac{1}{32}\Rightarrow x=38.}\hfill \end{array}}$ Behelyettesítéssel adódik, hogy mindkét gyök valóban kielégíti az egyenletet.