Feladat:	B.4565	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Adorján Dániel
Füzet:	2014/szeptember, 341 - 342. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Irracionális egyenletek, Diofantikus egyenletek, Konstruktív megoldási módszer, Oszthatóság
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2013/október: B.4565

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Fejezzük ki $y$-t az egyenletből: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{3}{\sqrt[]{x}}+\frac{2}{\sqrt[]{y}}=\frac{1}{\sqrt[]{2}}\mathrm{,}\frac{2}{\sqrt[]{y}}=\frac{\sqrt[]{x}-3\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{2x}}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \sqrt[]{y}=\frac{2\sqrt[]{2x}}{\sqrt[]{x}-3\sqrt[]{2}}\mathrm{,}y={\left(\frac{2\sqrt[]{2x}}{\sqrt[]{x}-3\sqrt[]{2}}\right)}^2=\frac{8x}{x+18-6\sqrt[]{2x}}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Mivel $y$ egész szám, a jobb oldalon is egész szám áll. Mivel $x$ is egész, a tört csak akkor lehet egész, ha $\sqrt[]{2x}$ racionális, ami akkor teljesül, ha egész is, tehát $2x$ négyzetszám. Ennek alapján $x=2\cdot k^2$, ahol $k$ pozitív egész. Hasonlóan haladva $\begin{array}{c}{\displaystyle x={\left(\frac{3\sqrt[]{2y}}{\sqrt[]{y}-2\sqrt[]{2}}\right)}^2=\frac{18y}{y+8-4\sqrt[]{2y}}\mathrm{,}}\end{array}$ tehát $2y$ is négyzetszám. $y=2\cdot m^2$, ahol $m$ pozitív egész szám. Az eddigieket beírva az eredeti egyenletbe és $\sqrt[]{2}$-vel szorozva diofantoszi egyenlethez jutunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{3}{k}+\frac{2}{m}=1.}\end{array}$ Beszorzás és szorzattá alakítás után ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 3m+2k=k\cdot m\mathrm{,}k\cdot m-3m-2k=\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(k-3\right)m-2\left(k-3\right)=\mathrm{6,}\left(k-3\right)\left(m-2\right)=6.}\hfill \end{array}}$ Az osztópárokból kapjuk az egyenlet pozitív egész megoldásait: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{|cccccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi><mo stretchy="false">-</mo><mn>3</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi><mo stretchy="false">-</mo><mn>2</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 8 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 32 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 128}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 50 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 50 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 72 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 32 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 9 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 162 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 18 }}\hfill \\ \hline\end{array}}}\end{array}$