Feladat:	B.4438	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gyarmati Máté
Füzet:	2014/szeptember, 340 - 341. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Szögfelező egyenes, Vektorok lineáris kombinációi
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/március: B.4438

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Tegyük fel, hogy az $ABC$ háromszögre $\overrightarrow{A{A}_1}+\overrightarrow{B{B}_1}+\overrightarrow{C{C}_1}=\text{0}$ teljesül. Toljuk el az $A{A}_1$ szakaszt $\overrightarrow{A{C}_1}$-gyel, ekkor $A_1$ képe $P$, $A$ képe $C_1$ lesz. Az eltolás miatt $\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{C_{1}P}$.     1. ábra   Mivel $\overrightarrow{C{C}_1}+\overrightarrow{C_{1}P}+\overrightarrow{PC}=\text{0}$ és $\overrightarrow{A{A}_1}+\overrightarrow{B{B}_1}+\overrightarrow{C{C}_1}=\text{0}$, továbbá $\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{C_{1}P}$, azért $\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{B{B}_1}=\text{0}$. Tehát az $A{C}_{1}P{A}_1$ és $BPC{B}_1$ négyszögek paralelogrammák. Az előbbiből következik, hogy $AB\parallel A_{1}P$, amiből $\beta =AB{A}_1\sphericalangle =B{A}_{1}P\sphericalangle$, és $BP\parallel AC$, továbbá $PBC\sphericalangle =BCA\sphericalangle =\delta$. Vagyis $ABC▵\sim P{A}_{1}B▵$. A $P{A}_{1}B$ háromszög oldalai meghatározhatók a szögfelező-tétel segítségével: $\begin{array}{c}{\displaystyle A_{1}B=\frac{ac}{b+c}\mathrm{,}BP=C{B}_1=\frac{ab}{a+c}\text{és}{A}_{1}P=A{C}_1=\frac{bc}{a+b}\mathrm{.}}\end{array}$ Felhasználva az előző hasonlóságot: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a:b:c}& {\displaystyle =\frac{ac}{b+c}:\frac{ab}{a+c}:\frac{bc}{a+b}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a:b}& {\displaystyle =\frac{ac}{b+c}:\frac{ab}{a+c}\Rightarrow a\left(b+c\right)=c\left(a+c\right)\Rightarrow ab=c^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a:c}& {\displaystyle =\frac{ac}{b+c}:\frac{bc}{a+b}\Rightarrow b\left(b+c\right)=c\left(a+b\right)\Rightarrow b^2=ac\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Az $a$, $b$, $c$ számokra $ab=c^2$ és $b^2=ac$ egyszerre teljesül. Összeszorozva $a{b}^3=a{c}^3$, vagyis $b=c$, ezt visszahelyettesítve pedig $a=b=c$, vagyis a háromszög szabályos.