Feladat:	4699. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Iván Balázs
Füzet:	2015/május, 308 - 309. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Gördülés (Merev testek síkmozgása)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/január: 4699. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Vizsgáljuk meg a golyó mozgását kétféle nézetből: a sínekkel párhuzamos irányból (1. ábra), illetve a lejtő esésvonalára merőleges, vízszintes irányból (2. ábra). A golyóra ható erők: az $mg$ nehézségi erő, a síneknél ható, egyenként $N$ nagyságú nyomóerő és mindkét sínnél $S$ nagyságú súrlódási erő, az ábrákon jelölt irányításokkal. (Az ábrákon csak a további számításban szerepet játszó erőket jelöltük.)   1. ábra     2. ábra   A golyó középpontjának gyorsulását $a$-val, a szöggyorsulását pedig $\beta$-val jelölve a tiszta gördülés feltétele: $\begin{array}{c}{\displaystyle a=h\beta \mathrm{,}}\end{array}$ ahol $\begin{array}{c}{\displaystyle h=\sqrt[]{R^2-{\left(\frac{d}{2}\right)}^2}=0\mathrm{,}6\text{cm }}\end{array}$ a golyó középpontjának távolsága a sínek síkjától. Írjuk fel a golyó mozgásegyenleteit! A lejtőre merőleges irányban a golyó tömegközéppontja nem gyorsul, így $\begin{array}{c}{\displaystyle mg\text{cos}\alpha -2N\text{cos}\phi =\mathrm{0,}}\end{array}$ ahol $\text{cos}\phi =h/R=0\mathrm{,}6$. A lejtő esésvonalának irányában a golyó mozgásegyenlete: $\begin{array}{c}{\displaystyle mg\text{sin}\alpha -2S=ma\mathrm{.}}\end{array}$ A súrlódási erők forgatónyomatékot fejtenek ki a $\Theta =\frac{2}{5}m{R}^2$ tehetetlenségi nyomatékú golyóra. A forgómozgás alapegyenlete szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle 2Sh=\frac{2}{5}m{R}^2\beta \mathrm{.}}\end{array}$ A fenti egyenletekből kifejezhető a tömegközéppont gyorsulása és a kényszererők nagysága. A feladatban szereplő $\alpha ={30}^{\circ }$-nál $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{\text{sin}\alpha }{1+\frac{2}{5}{\left(\frac{R}{h}\right)}^2}g=0\mathrm{,}234g\approx 2\mathrm{,}32\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\mathrm{,}}\end{array}$ továbbá (tetszőleges $\alpha$ szög esetén) $\begin{array}{c}{\displaystyle S=\frac{mg}{2}\text{sin}\alpha \left(1-\frac{1}{1+\frac{2}{5}{\left(\frac{R}{h}\right)}^2}\right)=0\mathrm{,}26mg\text{sin}\alpha }\end{array}$ és $\begin{array}{c}{\displaystyle N=\frac{mg}{2}\frac{\text{cos}\alpha }{\text{cos}\phi }=0\mathrm{,}83mg\text{cos}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ A golyó nem csúszik meg, ha teljesül az $S\le \mu N$ feltétel, vagyis ha (adott súrlódási együttható mellett) fennáll, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\alpha \le 3\mathrm{,}2\mu \mathrm{.}}\end{array}$