Feladat:	4677. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Olosz Balázs
Füzet:	2015/május, 304 - 305. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Pontrendszer tömegközéppontja, Pontrendszerek mozgásegyenletei
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/november: 4677. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $a)$ $\phi ={120}^{\circ }$ esetén a körlejtő végén a pálya éppen függőleges, tehát a kis test lerepülése pillanatában a kiskocsi és a kis test ugyanakkora vízszintes irányú sebességgel mozog. Ez a közös sebesség azonban a lendületmegmaradás törvénye szerint nulla kell, hogy legyen, hiszen a  rendszerre nem hat vízszintes irányú külső erő, így a kezdetben nulla lendület vízszintes komponense nem változhat meg. A súrlódásmentes mozgás miatt a rendszer mechanikai energiája is változatlan marad. A kis test a pályájának legmagasabb pontjában éppen áll, és ekkor a kiskocsi sem mozog, az emelkedési magasság tehát (a lejtő aljától számítva) $2R=40$cm. A kis test gyorsulása a pálya legmagasabb pontjában nyilván $g=9\mathrm{,}81\text{m/<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ (lefelé), a kiskocsi gyorsulása pedig nulla. A kis test vízszintes irányú elmozdulása a kocsihoz képest $\begin{array}{c}{\displaystyle {\ell }_1=R+R\text{sin}\alpha +\frac{R+R\text{cos}\alpha }{\text{tg}\alpha }=\frac{\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha +1}{\text{sin}\alpha }R=94\mathrm{,}6\text{cm. }}\end{array}$ Ha az $M$ tömegű kiskocsi a vizsgált pillanatig $x$ távolsággal mozdul balra, az $m$ tömegű kis test vízszintes irányú elmozdulása pedig ${\ell }_1-x$ jobbra, akkor az egész rendszer tömegközéppontjának vízszintes irányú elmozdulása a talajhoz képest: $\begin{array}{c}{\displaystyle X=Mx-m\left({\ell }_1-x\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ez az elmozdulás azonban (a vízszintes irányú külső erők hiánya miatt) nulla, ahonnan a kocsi, illetve a kis test vízszintes irányú elmozdulása: $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{m}{m+M}{\ell }_1=35\mathrm{,}5\text{cm}\text{és}{\ell }_1-x=\frac{M}{m+M}{\ell }_1=59\mathrm{,}1\text{cm}\mathrm{.}}\end{array}$ $b)$ $\phi ={90}^{\circ }$ esetén a körlejtő széle ${60}^{\circ }$-os szöget zár be a vízszintessel, és a kis test elmozdulása a kocsihoz képest vízszintes irányban a lejtő elhagyásának pillanatáig: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\ell }_2=\frac{\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha +\text{cos}\alpha +1}{\text{sin}\alpha }R=92\mathrm{,}0\text{cm. }}\end{array}$ Ezalatt a kiskocsi $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{m}{m+M}{\ell }_2=34\mathrm{,}5\text{cm}}\end{array}$ távolsággal mozdul el balra, a kis test vízszintes irányú elmozdulása pedig a lerepülésének pillanatáig $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{M}{m+M}{\ell }_2=57\mathrm{,}5\text{cm}\mathrm{.}}\end{array}$ Abban a pillanatban, amikor a kis test elhagyja a kiskocsin lévő lejtőt, legyen a kocsi sebessége (balra) $V$, a kis test (talajhoz viszonyított) sebessége pedig jobbra $v_x$, függőlegesen felfelé pedig $v_y$. A vízszintes irányú lendület megmaradása miatt $\begin{array}{c}{\displaystyle MV-m{v}_x=\mathrm{0,}\text{vagyis}V=\frac{m}{M}{v}_x\mathrm{.}}\end{array}$ A kis test a kocsihoz képest $v_x+V$ vízszintes és $v_y$ függőleges sebességgel rendelkezik, és ezen sebességek arányát meghatározza a körlejtő meredeksége a pálya szélén: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{v_x+V}{v_y}=\text{tg}\alpha \mathrm{,}\text{ahonnan}{v}_y=\frac{v_x+V}{\text{tg}\alpha }=\frac{v_x}{\text{tg}\alpha }\left(1+\frac{m}{M}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Felírhatjuk még a mechanikai energia megmaradásának törvényét az indítás és a lejtőről való lerepülés pillanatára: $\begin{array}{c}{\displaystyle mg\cdot 2R=mgR\left(1-\text{sin}\alpha \right)+\frac{1}{2}M{V}^2+\frac{1}{2}m\left(v_x^2+v_y^2\right)\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $V$ és $v_y$ korábban kifejezett alakját behelyettesítve végül a keresett sebességekre $\begin{array}{c}{\displaystyle v_x=0\mathrm{,}80\frac{\text{m}}{\text{s}}\mathrm{,}{v}_y=2\mathrm{,}2\frac{\text{m}}{\text{s}}\text{és}V=0\mathrm{,}48\frac{\text{m}}{\text{s}}}\end{array}$ adódik.