Feladat:	4667. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Körtefái Dóra
Füzet:	2015/május, 300 - 302. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Coulomb-törvény
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/október: 4667. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelöljük a szabályos tetraéder középpontjába helyezett ponttöltés nagyságát $Q\text{'}$-vel. Ez a töltés (az elrendezés szimmetriája miatt) nyilván egyensúlyban van. A többi töltés egyensúlyának vizsgálatához (ismét a szimmetriára hivatkozva) elegendő az egyik kiválasztott csúcspontban elhelyezkedő töltésre ható elektrosztatikus erők eredőjét kiszámítanunk, és annak eltűnését megkövetelnünk.   1. ábra   Ha a szabályos tetraéder oldalélének hosszát $a$-val jelöljük (1. ábra), akkor az oldallapjainak magassága $\begin{array}{c}{\displaystyle m=\overline{AR}=\frac{\sqrt[]{3}}{2}a\mathrm{,}}\end{array}$ az oldallap súlypontjának és az egyik csúcsának távolsága pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle \overline{AP}=\frac{2}{3}m=\frac{\sqrt[]{3}}{3}a\mathrm{.}}\end{array}$ Eszerint a tetraéder magassága $\begin{array}{c}{\displaystyle M=\overline{DP}=\sqrt[]{a^2-{\left(\frac{2}{3}m\right)}^2}=\sqrt[]{\frac{2}{3}}a\mathrm{.}}\end{array}$ Az $\overline{AO}=\overline{OD}$ feltételből megkapható, hogy a tetraéder középpontja a magasságvonal negyedénél található, vagyis a tetraéder középpontjának és az egyik csúcsának távolsága $\begin{array}{c}{\displaystyle \overline{DO}=\frac{3}{4}M=\sqrt[]{\frac{3}{8}}a\mathrm{,}}\end{array}$ az 1. ábrán látható $\alpha$ szögre pedig fennáll: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\alpha =\frac{M}{a}=\sqrt[]{\frac{2}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$ Az egyik csúcspontban lévő $Q$ nagyságú töltésre bármelyik másik csúcsnál található töltés $\begin{array}{c}{\displaystyle F=k\frac{Q^2}{a^2}}\end{array}$ nagyságú taszítóerőt fejt ki. A három másik csúcs töltései által kifejtett erő eredője a szimmetria miatt a tetraéder középpontjával ellentétes irányba mutató és $\begin{array}{c}{\displaystyle F^{*}=3F\text{cos}\alpha =3k\frac{Q^2}{a^2}\sqrt[]{\frac{2}{3}}}\end{array}$ nagyságú (2. ábra). Ugyanilyen irányú és $\begin{array}{c}{\displaystyle F\text{'}=k\frac{QQ\text{'}}{{\left(\frac{3M}{4}\right)}^2}=\frac{8k}{3}\frac{QQ\text{'}}{a^2}}\end{array}$ nagyságú vonzóerőt fejt ki a tetraéder középpontjában elhelyezkedő $Q\text{'}$ nagyságú, $Q$-val ellentétes előjelű töltés. Az erőegyensúly feltétele: $F\text{'}=F^{*}$, ami $\begin{array}{c}{\displaystyle Q\text{'}=\sqrt[]{\frac{27}{32}}Q\approx 0\mathrm{,}92Q}\end{array}$ esetén teljesül.   2. ábra   A töltésrendszer teljes kölcsönhatási energiája a töltéspárok megfelelő energiáinak összege: $\begin{array}{c}{\displaystyle W=6k\frac{Q^2}{a}-4k\frac{QQ\text{'}}{\left(\frac{3M}{4}\right)}=k\frac{Q}{a}\left(6Q-4\sqrt[]{\frac{8}{3}}Q\text{'}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ ami $Q\text{'}$ fentebb kiszámított értékének behelyettesítésével ‐ érdekes módon ‐ nullának adódik: $\begin{array}{c}{\displaystyle W=k\frac{Q^2}{a}\left(6-4\sqrt[]{\frac{8}{3}}\sqrt[]{\frac{27}{32}}\right)=0.}\end{array}$   Megjegyzés. Belátható, hogy bármely töltésrendszer elektrosztatikus kölcsönhatási energiája nulla, ha a rendszer elemei (elektrosztatikus erőhatások szempontjából) egyensúlyban vannak. Ilyen esetben ugyanis a rendszer méreteit ‐ kis lépésben ‐ arányosan megnövelhetjük, méghozzá úgy, hogy eközben nem kell munkát végeznünk (hiszen a rendszer minden elemére ható eredő erő nulla). Ezt a méretnövelést egészen addig folytathatjuk, ameddig a töltések már nagyon távol (,,végtelen'' messze) kerülnek egymástól, vagyis amikor a kölcsönhatási energiájuk nullává válik. Mivel mindezt munkavégzés nélkül tehetjük meg, az energia az eredeti állapotban is nulla kellett, hogy legyen.