Feladat:	4653. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Iván Balázs ,  Marosvári Kristóf
Füzet:	2015/május, 299 - 300. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Hajítások, Egyéb kényszermozgás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/szeptember: 4653. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Amikor a test még csúszik a gömb felületén, akkor a testre ható erők (a test súlya, valamint a rögzített gömb által kifejtett tartóerő) eredőjének sugár irányú összetevője biztosítja a körmozgáshoz szükséges centripetális erőt. A test akkor válik el a felülettől, amikor a gömb már éppen nem fejt ki erőt a testre. Legyen az elválás pillanatában a test sebessége $v$, a helyzetét pedig az ábrán látható $\alpha$ szöggel jellemezhetjük.     A mozgásegyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle m\frac{v^2}{R}=mg\text{cos}\alpha \mathrm{,}}\end{array}$ továbbá az energiamegmaradás törvénye alapján fennáll: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}m{v}^2=mgR\left(1-\text{cos}\alpha \right)\mathrm{.}}\end{array}$ A fenti két egyenletből a szög és a sebesség kiszámítható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\alpha =\frac{2}{3}\mathrm{,}\alpha =48\mathrm{,}{2}^{\circ }=0\mathrm{,}84\text{ radián,}}\end{array}$ tehát az elválás pillanatáig megtett út: $\begin{array}{c}{\displaystyle s=R\alpha =1\mathrm{,}26\text{m, }}\end{array}$ illetve: $\begin{array}{c}{\displaystyle v=\sqrt[]{\frac{2}{3}Rg}\mathrm{.}}\end{array}$ Bontsuk fel a test sebességét vízszintes $v_x$ és függőleges $v_y$ komponensekre! (Az $x$ tengelyt jobbra, az $y$ tengelyt pedig lefelé irányítjuk.) A felülettől való elválás pillanatában $\begin{array}{c}{\displaystyle v_x=v\text{cos}\alpha =\sqrt[]{\frac{8}{27}Rg}\mathrm{,}{v}_y=v\text{sin}\alpha =\sqrt[]{\frac{10}{27}Rg}\mathrm{.}}\end{array}$ A mozgás további szakaszában a test vízszintes irányú mozgása egyenletes mozgás, tehát ha a levegőben töltött idő $t$, a test vízszintes irányú elmozdulása: $d=v_{x}t$. A függőleges irányú mozgás egyenletesen gyorsuló mozgás, melynek kezdősebessége $v_y$, legnagyobb sebessége pedig (a mechanikai energiamegmaradás tétele szerint): $\begin{array}{c}{\displaystyle v_y^{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}=\sqrt[]{{\left(v_y\right)}^2+2g\Delta y}=\sqrt[]{\frac{10}{27}Rg+2R\left(1+\text{cos}\alpha \right)g}=10\sqrt[]{\frac{Rg}{27}}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel a függőleges irányú mozgás egyenletesen változó mozgás, a földet érés ideje így is kiszámítható: $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\frac{v_y^{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}-v_y}{g}=\sqrt[]{\frac{Rg}{27}}\left(10-\sqrt[]{10}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan a test vízszintes irányú elmozdulása az elválás pillanatától a földet érésig: $\begin{array}{c}{\displaystyle d=v_{x}t=\frac{\sqrt[]{8}}{27}\left(10-\sqrt[]{10}\right)R=0\mathrm{,}716R\mathrm{.}}\end{array}$ A keresett $L$ távolság a fentebb kiszámított $d$ és a gömbfelületen történt elmozdulás vízszintes vetületének összege: $\begin{array}{c}{\displaystyle L=d+R\text{sin}\alpha =\frac{5}{27}\left(4\sqrt[]{2}+\sqrt[]{5}\right)R=1\mathrm{,}46R=2\mathrm{,}19\text{m. }}\end{array}$   Megjegyzés. A feladatban szereplő $s$ és $L$ távolságok sem a test tömegétől, sem a nehézségi gyorsulástól nem függnek, így akár a Holdon is érvényesek lennének.