A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A négyzet méretét nyilván tetszőlegesen megválaszthatjuk. Tekintsük például az 1. ábrán látható négyzetet, amelynek átlója 12 egység, oldaléle tehát egység hosszú, így a négyzet területe 72 területegység. (Ez a választás nem megy az általánosság rovására, alkalmas hosszúságegység választásával mindig elérhető; csupán a további számolás leegyszerűsítésére szolgál.) Ugyanekkora területű és oldalarányú az téglalap is, egy ilyen alakú lemez tömege tehát ugyanakkora, mint a négyzet alakú lemezé.
1. ábra Szeretnénk összehasonlítani a két lemeznek az középponton átmenő és a lemezek síkjára merőleges tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékát. A tehetetleségi nyomatékok összehasonlítása az itt következő gondolatmanetben azon alapszik, hogy valamely test tehetetlenségi nyomatéka a test egyes részeinek tehetetlenségi nyomatékaiból adható össze. Ha csak azt kérdezzük, hogy melyik lemez tehetetlenségi nyomatéka nagyobb, a két síkidom közös részével, vagyis az hatszöggel nem kell foglalkoznunk, csak a 4-4 kis háromszög -ra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékát kell összehasonlítanunk. Megmutatjuk, hogy a háromszög pontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka kisebb, mint a háromszögé, ha tehát a négyzetet az ábrán látható módon átdaraboljuk téglalappá, a tehetetlenségi nyomaték nőni fog. A két (sötétszürkén jelölt) háromszög egybevágó, területük megegyezik, tehát a nekik megfelelelő lemezdarabok tömege ugyanakkora. A háromszögek tehetetlenségi nyomatéka az , illetve súlypontra nyilván megegyezik, az pontra vonatkoztatva tehát (a Steiner-tétel szerint) annak a lemezdarabnak nagyobb a tehetetlenségi nyomatéka, amelyiknek a súlypontja az ponttól messzebb található. Az ábráról leolvasható, hogy és hasonló érvényes a másik 3 háromszög-párra is.
2. ábra Más módon is elvégezhetjük az ,,átdarabolást''. Ha a 2. ábrán látható háromszöget -kal elforgatjuk az pont körül, az háromszöget kapjuk, amelynek megfelelő lemezdarab tehetetlenségi nyomatéka nyilván ugyanakkora marad, mint amekkora eredetileg volt. Tükrözzük most az háromszöget a átfogójára. A tükrözés során a háromszög minden pontja messzebb kerül az ponttól, a háromszög alakú lemezdarab tehetetlenségi nyomatéka tehát biztosan nagyobb, mint a kiindulási helyzetnek megfelelő alakzaté, és ugyanez érvényes a másik három kis háromszögre is. (Vegyük észre, hogy ennél a gondolatmenetnél nem kellett felhasználnunk a Steiner-tételt.) Megállapíthatjuk tehát, hogy az azonos területű, azonos vastagságú és azonos sűrűségű (emiatt azonos tömegű) lemezdarabok közül a téglalap alakúnak a középpontjára vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka nagyobb, mint a négyzet alakú lemezdarabé. |