Kezdőlap


Feladat:	4708. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2015/április, 246 - 248. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb merev testek mechanikája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/február: 4708. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A négyzet méretét nyilván tetszőlegesen megválaszthatjuk. Tekintsük például az 1. ábrán látható $A B C D$ négyzetet, amelynek átlója 12 egység, oldaléle tehát $12 / \sqrt[]{2}$ egység hosszú, így a négyzet területe 72 területegység. (Ez a választás nem megy az általánosság rovására, alkalmas hosszúságegység választásával mindig elérhető; csupán a további számolás leegyszerűsítésére szolgál.) Ugyanekkora területű és $1 : 2$ oldalarányú az $X Y U W$ téglalap is, egy ilyen alakú lemez tömege tehát ugyanakkora, mint a négyzet alakú lemezé.

1. ábra

Szeretnénk összehasonlítani a két lemeznek az

O

középponton átmenő és a lemezek síkjára merőleges tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékát. A tehetetleségi nyomatékok összehasonlítása az itt következő gondolatmanetben azon alapszik, hogy valamely test tehetetlenségi nyomatéka a test egyes részeinek tehetetlenségi nyomatékaiból adható össze. Ha csak azt kérdezzük, hogy melyik lemez tehetetlenségi nyomatéka nagyobb, a két síkidom közös részével, vagyis az

A L M C P K

hatszöggel nem kell foglalkoznunk, csak a 4-4 kis háromszög

O

-ra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékát kell összehasonlítanunk. Megmutatjuk, hogy a

P Q D

háromszög

O

pontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka kisebb, mint a

P U C

háromszögé, ha tehát a négyzetet az ábrán látható módon átdaraboljuk téglalappá, a tehetetlenségi nyomaték nőni fog.
A két (sötétszürkén jelölt) háromszög egybevágó, területük megegyezik, tehát a nekik megfelelelő lemezdarabok tömege ugyanakkora. A háromszögek tehetetlenségi nyomatéka az

S_{1}

, illetve

S_{2}

súlypontra nyilván megegyezik, az

O

pontra vonatkoztatva tehát (a Steiner-tétel szerint) annak a lemezdarabnak nagyobb a tehetetlenségi nyomatéka, amelyiknek a súlypontja az

O

ponttól messzebb található. Az ábráról leolvasható, hogy

\begin{matrix} \bar{O S_{2}} = \sqrt[]{5^{2} + 2^{2}} = \sqrt[]{29} > \sqrt[]{17} = \bar{O S_{1}}, \end{matrix}

és hasonló érvényes a másik 3 háromszög-párra is.

2. ábra

Más módon is elvégezhetjük az ,,átdarabolást''. Ha a 2. ábrán látható

P Q D

háromszöget

90^{\circ}

-kal elforgatjuk az

O

pont körül, az

M N C

háromszöget kapjuk, amelynek megfelelő lemezdarab tehetetlenségi nyomatéka nyilván ugyanakkora marad, mint amekkora eredetileg volt. Tükrözzük most az

M N C

háromszöget a

C M

átfogójára. A tükrözés során a háromszög minden pontja messzebb kerül az

O

ponttól, a

C Y M

háromszög alakú lemezdarab tehetetlenségi nyomatéka tehát biztosan nagyobb, mint a kiindulási helyzetnek megfelelő

P Q D

alakzaté, és ugyanez érvényes a másik három kis háromszögre is. (Vegyük észre, hogy ennél a gondolatmenetnél nem kellett felhasználnunk a Steiner-tételt.)
Megállapíthatjuk tehát, hogy az azonos területű, azonos vastagságú és azonos sűrűségű (emiatt azonos tömegű) lemezdarabok közül a téglalap alakúnak a középpontjára vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka nagyobb, mint a négyzet alakú lemezdarabé.